複素数の問題です

質問

Z=cos(360°/7)+isin(360°/7)
(1)z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6を求めよ。
これは、等比数列とみて-1とでました。
(2)複素平面において、1,z,z^2,z^3,z^4,z^5,z^6があらわす点をＰ0,Ｐ1,Ｐ2,Ｐ3,Ｐ4,Ｐ5,Ｐ6とする。三角形Ｐ1Ｐ2Ｐ4ｔｐ三角形Ｐ3Ｐ5Ｐ6の重心をＱ（α）、Ｒ（β）とおくとき、複素数α、βを求めよ。
(3)三角形Ｐ0ＱＲの面積を求めよ。

(２)は、-1/6±(√7)/6i　であっていますか？あっていなければ、答えを教えて欲しいです。
あと（３）がわかりません。解答の過程も教えてください。

どうぞよろしくお願い致します。

回答No.2

mmky · ベストアンサー

回答は出てますので余計な参考程度に

確かに便利な表記なんですが、複素数というと皆さん難しく考える傾向性がありますね。
質問のケースは円を７等分する点を表してますね。原点から円上の等分点に線を引いて出来る線（方向が違いますからベクトル線ですね。）の合算は０になりますね。
z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6+z^7=0
z^7=1 だから
z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6=-1
z^7=1　はP0 ですがこれは原点からx軸上で１を数えた点ですね。
それから重心点は#1のあっているとのお墨付きがありますので、これはｘ軸に対象な点ですから計算すべき三角形(二等辺）をxy座標で表すと頂点(1,0), 他の二点がそれぞれ(-1/6, -√7)/6), (-1/6, +√7)/6),
ですね。だから高さ(7/6) 底辺(√7/3)の三角形ですね。面積は、7√7/36 　とか。
というようにｘｙ座標でyにiがついてるだけと考えておけば今までの幾何学概念で解けますね。

お礼

ご回答どうもありがとうございました！とてもわかりやすかったです。ありがとうございました！

回答No.1

mame594

(1)結果的には同じ式を使うのですが，z^7=1ですから，
　z^7-1=0の左辺を因数分解してもいいと思います．-1でOK．
(2)合っていると思います．同じ答えになりました．ただしiは分子に書かないと．
　α+βとαβを出して，根と係数の関係から．
(3)一般的に，原点，α，β（上の文字とは無関係）の３点があった時，
　三角形の面積はαとβのなす角がargα-argβ=arg(α/β)ですから，
　S=|α|・|β|・|sin arg(α/β)|/2になるので，Po基準にすればよいと思う．

お礼

ご回答どうもありがとうございました！とてもわかりやすかったです。どうもありがとうございました！