複素数の問題について

質問

(1)z^5＝1を満たす複素数zをすべて求め、複素平面に図示せよ。
(2)上記の解のなかで、複素平面で第一象限にあるものをωとあらわす、ω^4＋ω^3＋ω^2＋ω=1となることを示し、ω+1/ωの値を求めよ。
(3)cos(2π/5)の値を求めよ。

(1)については１、e^(2πi/5)、e^(4πi/5)、e^(6πi/5)、e^(8πi/5)、となるのであろうということまでは本を読んでいてわかったのですが、(2)のω=e^(2πi/5)となるところ以降がわかりません。
どなたかわかるかた、よろしくお願いいたします。

回答No.3

take_5 · ベストアンサー

普通は、＃1さんが示されている方法が一般的なんだろうが。。。。笑

＞(1)z^5＝1を満たす複素数zをすべて求め、複素平面に図示せよ。

｜z｜＝1より、z＝cosθ＋i*sinθと置けるから（iは虚数単位）、z^5＝1に代入すると、ド・モアブルの定理より、z^5＝cos5θ＋i*sin5θ＝1。
従って、cos5θ＝1、sin5θ＝0.　0≦θ＜2πから　0≦5θ＜10π。
ところが、5θ＝2nπより　0≦2nπ＜10πであるから、n＝0、1、2、3、4。

＞(2)上記の解のなかで、複素平面で第一象限にあるものをωとあらわす、ω^4＋ω^3＋ω^2＋ω=1となることを示し、ω+1/ωの値を求めよ。
＞(3)cos(2π/5)の値を求めよ。

4次方程式の解と係数の関係でも解けるが、面倒なので、ω^5-1＝（ω-1）*（ω^4＋ω^3＋ω^2＋ω＋1）＝0で、ω-1≠0よりω^4＋ω^3＋ω^2＋ω＋1＝0.

さて、ω+1/ωの値と、cos(2π/5)の値の値を一挙に解いてしまおう。

複素平面で第一象限にあるものをωという条件から、5θ＝2π。
又、ω+1/ω＝（cosθ＋i*sinθ）＋（1）/（cosθ-i*sinθ）＝（cosθ＋i*sinθ）＋（cosθ＋i*sinθ）＝2cosθ＝2cos（2π/5）。
つまり、cosθ（2π/5）の値を求めると良い。

5θ＝2πより、3θ＝2π-2θであるから、両辺のcosをとると、4（cosθ）＾3-2（cosθ）＾2-3（cosθ）＋1＝（cosθ-1）（4cos＾2θ＋2cosθ-1）＝0となるから、cosθ＞0に注意して、cosθ＝cos（2π/5）＝（√5-1）/4.
従って、ω+1/ω＝2cos（2π/5）＝（√5-1）/2..

お礼

非常にわかりやすかったです。ありがとうございました。
公式をさっと説明されただけだったので、ド・モアブルの定理の使い方もよくわかっておらず、勉強になりました。変則的な解き方というか、答えが予測できないと解けない解き方のように感じました。回答者さまは数学得意なのでしょうね・・・。うらやましい限りです。
ありがとうございました。#4の訂正のほうもありがとうございました。助かりました。

回答No.4

take_5

またもや、ミスを発見。。。。笑

＞ところが、5θ＝2nπより　0≦2nπ＜10πであるから、n＝0、1、2、3、4。

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ところが、5θ＝2nπより　0≦2nπ＜10nπであるから、n＝0、1、2、3、4。

＞又、ω+1/ω＝（cosθ＋i*sinθ）＋（1）/（cosθ-i*sinθ）＝（cosθ＋i*sinθ）＋（cosθ＋i*sinθ）＝2cosθ＝2cos（2π/5）。

　　　　　　　　　　　↓

又、ω+1/ω＝（cosθ＋i*sinθ）＋（1）/（cosθ＋i*sinθ）＝（cosθ＋i*sinθ）＋（cosθ-i*sinθ）＝2cosθ＝2cos（2π/5）。

回答No.2

noname#101087

>１、e^(2πi/5)、e^(4πi/5)、e^(6πi/5)、e^(8πi/5)

偏角 = (0πi/5), (2πi/5), (4πi/5), (6πi/5), (8πi/5) のうち、
　　第一象限 (0 < 角 < π/2) にあるのは (2πi/5)
ということなのでしょう。

>ω+1/ωの値を求めよ。

ω= e^(2πi/5) を代入すると、
　　ω+1/ω
　　= e^(2πi/5) + e^(-2πi/5) = cos(2π/5) + i*sin(2π/5) + cos(2π/5) - i*sin(2π/5)
　　= ?

それにしても cos(2π/5) ってどう勘定して見せれば好いのですかね。

お礼

#1の回答者さまや#3の回答者さまのように答えればよいようですね。ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

ん～, (2) は ω^4 + ω^3 + ω^2 + ω + 1 = 0 の間違いですよね.
これは ω が ω^5 - 1 = 0 かつ ω - 1 ≠ 0 から簡単にわかるはず. で, 先の 4次方程式は相反方程式なので ω^2 (≠ 0) で割ってゴニョゴニョすると (ω + 1/ω) に関する 2次方程式が立ちます.
この解が求まれば (3) は余裕なはず.

お礼

すみません、回答者さまのおっしゃるとおりで、(2)は間違いです。ありがとうございます。
初項１、公比ωの等比数列の第五項までの和、にすると（1-ω^5)/1-ωになって ω^4 + ω^3 + ω^2 + ω + 1 = 0 がしめせ、またω^2で割ると{ω+(1/ω)}^2+{ω+(1/ω)}=0がでてきて、それをとけばいいのですね。すごくわかりやすくて助かりました。ありがとうございました。