複素数の偏角の範囲について

質問

複素関数w=zz¯により、ｚ平面上の図形|z - 2| = 1は、ｗ平面状でどのような図形に写されるか、調べて図示せよ。ただし、z=x+iy, w=u+ivとする。

上記の問題の解説ですが、なぜ偏角の範囲を-π<θ≦πとおいたのかが分かりません。後半のあたりでcosθ/2の範囲を求めるのですが、偏角の範囲が0<θ≦2πの場合では異なる値になり、なぜ-π<θ≦πの場合で限定したのかが分かりません。また、他の複素数の問題を解いていても偏角の範囲が-π<θ≦πとなっているものが多いのですが、複素数においては偏角はこの範囲という決まりがあるのでしょうか。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

u=1+8{cos(θ/2)}^2
で
-π<θ≦π
と
0<θ≦2π
のどちらであっても
θの値に関係なく

0≦{cos(θ/2)}^2≦1
は成立します

よって
1≦u≦9

なので
|z-2|=1
を
z=2+e^{iθ}
とした場合
は
-π<θ≦π
と
0<θ≦2π
のどちらであっても
よいです

ただし
|z-2|=1
で
θ=arg(z)
とした場合は
-π/6≦arg(z)≦π/6
なので
-π<θ≦π
としたほうがよい