√ｘlogxdxを定積分する問題がわかりません

質問

√ｘlogxdxを定積分する問題がわかりません

回答No.3

naniwacchi

#1です。

まさかとは思いますが、√は x* log(x)にかかっていたりしますか？
√x* log(x)なのか、√(x* log(x))なのかということですが、
先の回答でも #2さんの回答でも、√x* log(x)の前提になっています。

私の方の計算過程も示しておきます。
(log(x)) '＝ 1/xとなるので、これを部分積分に利用します。

∫x^(1/2)* log(x) dx
＝ 2/3* x^(3/2)* log(x)- ∫2/3* x^(3/2)* 1/x dx
＝ 2/3* x^(3/2)* log(x)- 2/3* ∫x^(1/2) dx

あとは、後ろの積分を実行して、整理するだけです。

回答No.2

sanori

こんにちは。

以下、不定積分をしますので、定積分は代入して求めてください。

まずは、置換積分です。
ｚ　＝　√ｘ　＝　ｘ^(1/2)　と置いて、
ｙ　＝　ｘ^(1/2)logｚ^2
そして、
ｄｚ／ｄｘ　＝　１／２・ｘ^(-1/2)　＝　１／２・１／ｚ
より
ｄｘ　＝　２ｚｄｚ

よって、
与式　＝　∫√ｘ・logｘｄｘ　＝　∫ｚ・logｚ^2・２ｚｄｚ
　＝　∫ｚ・２logｚ・２ｚｄｚ
　＝　４∫ｚ^2・logｚ・ｄｚ

ここで、今度は部分積分を考えます。
ｕ　＝　ｚ^2
Ｖ　＝　logｚ
と置けば、
Ｕ　＝　ｚ^3／３
ｖ　＝　１／ｚ
よって、
与式　＝　４∫ｚ^2・logｚ・ｄｚ
　＝　４∫ｕＶ・ｄｚ
　＝　４｛ＵＶ　－　∫Ｕｖｄｚ｝
　＝　４｛ｚ^3／３・logｚ　－　∫ｚ^3／３・１／ｚ・ｄｚ｝
　＝　４／３｛ｚ^3・logｚ　－　∫ｚ^2・ｄｚ｝
　＝　４／３｛ｚ^3・logｚ　－　ｚ^3／３　＋　Ｃ１｝
　＝　４／９｛３ｚ^3・logｚ　－　ｚ^3　＋　Ｃ２｝
　＝　４（ｘ^(1/2)）^3／９・｛３log（ｘ^(1/2)）　－　１　＋　Ｃ３｝
　＝　４ｘ^(3/2)／９・｛３／２・logｘ　－　１　＋　Ｃ３｝

私は計算ミスが多いので、検算してください。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

「定積分」であれば、積分区間があるはずですが・・・
単純に、log(x)の積分を求める方法を参考にしてみてください。
部分積分を使います。