定積分

質問

∫[0→1](x^2){sin^-1(x)}dx

です。

部分積分でやってみました。
∫[0→1](x^2){sin^-1(x)}dx
=[(x^3/3){sin^-1(x)}][0→1] - ∫[0→1](x^3/3) * {1/√(1-x^2)}
=sin^-1(1)/3-∫[0→1](x^3/3) * {1/√(1-x^2)}
この後ろの部分をどのようにして積分すれば良いのでしょうか？

∫[0→1](x^3/3) * {1/√(1-x^2)}=?

教えてください。
お願い致します。

回答No.1

endlessriver · ベストアンサー

√(1-x^2)=tと変数変換

お礼

回答ありがとうございます。
∫[0→1](x^3/3) * {1/√(1-x^2)}
√(1-x^2)=t
と置くと
∫[0→1](x^3/3) * {1/√(1-x^2)}=∫[1→0](x^3/3)*(1/t)*(-t/x)dt
=∫[1→0]{(1-t^2)/3}dt
=-2/9

よって
∫[0→1](x^2){sin^-1(x)}dx
=[(x^3/3){sin^-1(x)}][0→1] - ∫[0→1](x^3/3) * {1/√(1-x^2)}
=sin^-1(1)/3-∫[0→1](x^3/3) * {1/√(1-x^2)}
=π/6+2/9=(3π+4)/18

でよろしかったでしょうか？

回答No.3

endlessriver

π/6-2/9とりましたが

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.2

info22

> ∫[0→1](x^3/3) * {1/√(1-x^2)}dx=?
x=sin(t)と置換するとx=0→1はt=0→π/2になる。この範囲でcos(t)>0
dx=cos(t)dtより
I=∫[0→π/2] (1/3)sin^3(t)dt
=(1/3)∫[0→π/2] (1-cos^2(t))*(cos(t))'dt
= （後は分かるね。）

[別の解法]
x=sin(y)と置換すると、dx=cos(y)dy
I=∫[0→(π/2)] y*sin^2(y)cos(y)dy
=∫[0→(π/2)] {y*cos(y)-(y/4)cos(3y)-(3y/4)cos(y)}dy
=(1/4)∫[0→(π/2)] {y*cos(y)-y*cos(3y)}dy
=(1/4)[y*sin(y)+cos(y)-(y/3)*sin(3y)-(1/9)cos(3y)] |(y=0↑(π/2))
= (後は分かりますね。）

お礼

回答ありがとうございます。

I=∫[0→π/2] (1/3)sin^3(t)dt
=1/3∫[0→π/2]{(-1/4)sin(3t)+(3/4)sin(t))dt (三倍角の公式)
=1/36cos(3t)-(1/4)cos(t)[0→π/2]
=0-(1/36)+(1/4)=5/18

でよろしいのでしょうか？
ちなみに
∫[0→1](x^3/3) * {1/√(1-x^2)}dx=?
の{1/√(1-x^2)}部分はどこで計算しているのでしょうか？
できれば教えて頂けると幸いです。