複素数の偏角

質問

複素数zの偏角は
arg z=arctan(y/x)
と書かれることがあると思いますが，arctanの戻り値は-π/2からπ/2までですよね．偏角が-πから-π/2の場合やπ/2からπのときはこの式ではただしい値が求まらないと思います．ほかに適当な書き方がないからarctanを使っているだけなのでしょうか？

回答No.11

alice_44 · ベストアンサー

馬鹿なこと言って茶化してる人がいるので、
A No.7 ～ No.9 を整理しておきます。

＞ でも参考書見るとarctan(y/x)と書いてあるわけです．．．
arg z = arctan(y/x)　where　z = x+yi,　x,y∈R
は、arg の表式にはなり得ません。
問題点は x = 0 ばかりではなく、tan の周期が π であること
に起因して、複素平面の半分でしか arg を表せないからです。

arctan の値域は、-π/2 ～ π/2 にとることが多いけれど、
適当にずらして設定することも可能です。
だから、どこの半平面で arg z = arctan(y/x) になるかは、
arctan の定義次第で変わってくるのだけれど、いづれにせよ、
arg z = arctan(y/x) で表せるのは、複素平面の半分だけです。

既に書いたことですが、君の式では、
1-i と -1+i の偏角が同じ値になってしまいますね？。
＞ 特に範囲制限等なさそうです．
だったら、君の使っている参考書は、間違っているか、
最大限善意に解釈しても致命的に説明不足なので、
他の本で勉強したほうがよいです。

＞ 一般的にarg zの定義ってどうなっているのでしょう？
arg を式で表示するには、いろいろやり方があると思いますが、
簡潔なのは arg z = Im log z だろうと思います。

ここで、Im は複素数の虚部。z の共役複素数を z^ として、
Im z = (z + z^)/2 で定義される関数です。

log は複素対数で、log z = ∫[t=1→z] dt/t で定義されます。
右辺の積分は、複素積分であるために積分路依存で、
2πi の整数倍を任意に加えられる不定性があります。このため、
上式の arg にも、2π の整数倍を任意に加えられる不定性があります。
それが、偏角を考えるときに動径を何回転させるかに対応する訳です。
通常、arg の値域が 0 ～ 2π になるように調整します。

お礼

まとまっていてわかりやすいです．ありがとうございます．

arg z=Im log zというのは，zを極座標表示したときのθがarg zだと言っているということでいいでしょうか？

回答No.18

fusem23

argz=2arctan(y/(√(x^2+y^2)+x))
としてやれば、要望どおり－πからπの範囲で正しい値が求まります。
負数だけは、０除算によりエラーとなりますが。

また atan2(y,x) というように、２変数関数で考えるなら、正しい求め方というのが存在します。
それらは正しい値を返すというだけですけどね。

y/x という計算の過程で必要な情報は既に失われてますから、その方法は正しくない。
かと言って、xとyが共に正の場合は、arctan(y/x)はまったく正しい値を返します。
つまり、「ほかに適当な書き方がないから」ではなく、概念としてはそれが正しいのです。

では、なぜ元は正しいのに、範囲を広げると正しくなくなるのか。
それは、π/2以上の角度が拡張された概念だと気付いていないからでしょう。
ｘ座標が-1だとか平気で使っているようですが、それは明らかに拡張された概念です。
それと同様に、-π/2なども拡張された概念です。

そのことで発生する問題点ですが、座標には負数を使い、長さには使ってないんですね。
偏角を-π/2からπ/2までとし、代わりに長さを負数にするという選択もあり得なくはないです。
東北の方角に２ｋｍと言う代わりに、西南の方角に－２ｋｍといっても同じです。
そう考えられるなら、arg z=arctan(y/x)は正しい式となります。

ところが長さには絶対値を使いますから、偏角に修正を加えねばなりません。
でも１変数関数のままでそれは不可能ですから、「後は勝手にやってくれ」となっているのです。

お礼

ありがとうございます．

回答No.17

Water_5

だから
π/2＞arg（ｚ）＞-π/2と条件が付いてるのです。

π～-πまでやらないと気が済みませんか？
いっそのこと
ｎπ～-ｎπ（ｎ－－－＞∞）までやってたらどうですか？

お礼

>π/2＞arg（ｚ）＞-π/2と条件が付いてるのです。
>π～-πまでやらないと気が済みませんか？

気が済まないわけではないです．
納得いく理由があれば-π/2<arg(z)<π/2でもいいです．
でも，自然に考えれば-π<arg(z)<=π/2だと思いましたので，質問させていただきました．

回答No.16

Water_5

＞偏角が-πから-π/2の場合やπ/2からπのときは
＞この式ではただしい値が求まらないと思います．
---------------------------------------------------
そうや。もとまらないね。そいで？

お礼

そいでですね，この定義はおかしいのではないかと聞いてみたかったのです．もしかしたら私が知らないだけかもしれませんから．

回答No.15

Water_5

訂正

#11の回答はただしい。------->＃６の回答はただしい。

お礼

ありがとうございます．

#11の回答も#6の回答もどちらも正しいと思います．

回答No.14

Water_5

そうそう。2iでよい。

#11の回答はただしい。
しかし、公式が不十分であって、自分の解釈は
間違ってないと？思っているのか。

いつまでも自己弁護するやつじゃの。

＃１１が正しく、公式は不十分です。
しかし、貴方の提示した公式は省略してあるのです。

結論
公式は不十分だが、（条件は省略してあるので。）やっぱり
ただしい。しかし、それでも貴方のような疑問が出てくるのは
私の指摘どおりだと思うが？どうだろうか。

私の指摘をわかってもらえなかった事は残念です。
再度、作戦を立て直してきます。

数学って面白いですね。謎解きみたいなところがあって。

お礼

私の質問で条件が省略してあったのは私のミスです．それで混乱させたなら謝ります．

>それでも貴方のような疑問が出てくるのは私の指摘どおりだと思うが？どうだろうか。

Water_5さんのご指摘を理解できていないのでこの質問には答えかねます．No.10で回答していただいた内容は間違いではないですか？(2)式がどこから出てきたのかが不明です．

回答No.13

Water_5

2i---->2でよいのでは？
暑い日が続きますね。

お礼

2iであっていると思います．

回答No.12

alice_44

誤記訂正です。

Im z = (z - (zの共役))/(2i)

でなくてはね。

回答No.10

Water_5

arg z=arctan(y/x)であってます。
が、スレ主はまだ疑問点は解決してないのですか？

arg z=arctan(y１/x１)・・・・・・・（１）
ｙ２＝tan（ｘ２）、ｘ２＝arctan(ｙ２）・・・・・（２）

（１）式の（ｘ１、ｙ１）と（２）式の（ｘ２、ｙ２）は
等しくない。御主は変数（ｘ、ｙ）として等しいとして
まぜこぜで使っている。これが誤りの原因。

お礼

ありがとうございます．

すみません．ご回答の内容を私がちゃんと理解できてないです．

私としては，arg zの定義をarctan(y/x)とするのでは不十分と思って質問させていただきました．みなさんのご回答を見る感じでは，不十分という結論でよいという認識です．特にNo11の方の意見がわかりやすいと思います．

回答No.9

alice_44

普通は、arg z = Im log z じゃない？

お礼

そんな定義があるのですか．．．
勉強し始めの人にその定義出してもわからなそうですね．

回答No.8

alice_44

単に参考書が間違っているか、
x,y の範囲に制限がついていたのを
君が見落としているか、の、どっちか。

お礼

ありがとうございます．

特に範囲制限等なさそうです．

一般的にarg zの定義ってどうなっているのでしょう？
arctan(y/x)ではないのでしょうか？