微分に関して教えてください。

質問

微分に関して教えてください。

f(x)がx=aで微分可能なとき、同位の微小数を使って
f(a+Δx)=f(a)+AΔx+０(Δx)とかけるのはなぜですか？

証明をお願いします。

回答No.4

muturajcp · ベストアンサー

f(x)がx=aで微分可能
<-def->
∃A(∀ε>0→∃δ>0(|Δx|<δ→|f(a+Δx)-f(a)-AΔx|≦ε|Δx|))

O(Δx)は同位の微小数ではありません

O(Δx)=(Δxの位以上の微小数)
<-def->
∃K>0,∃δ>0(|Δx|<δ→|O(Δx)|≦K|Δx|)

αとβが同位の微小数
<-def->
β=O(α) & α=O(β)

o(Δx)=(Δxの高位の微小数)
<-def->
∀ε>0→∃δ>0(|Δx|<δ→|o(Δx)|≦ε|Δx|)

f(a+Δx)=f(a)+AΔx+o(Δx)

O(Δx)の定義でK=εとすれば、o(Δx)はO(Δx)となるから

f(a+Δx)=f(a)+AΔx+O(Δx)

回答No.3

alice_44

ランダウのオーには二種類あります。
h→0 のとき g(h)/h が
有界なことを表す g(h) = O(h) と
ゼロへ収束する項を表す g(h) = o(h) です。
O( ) をビッグオー、o( ) をスモールオーと
呼び分けることもあります。

なので、微分係数の収束
lim[Δx→0]｛ f(a+Δx) - f(a) ｝/ Δx - A = 0
を表す式は、
f(a+Δx) = f(a) + A Δx + O(Δx)
ではなく、
f(a+Δx) = f(a) + A Δx + o(Δx)
です。

一番下の式を、o(Δx)/Δx = … の形に変形し、
一番上の式と比べると、解るかと思います。

回答No.2

Tacosan

「微分可能」というのはどのように定義してますか?

回答No.1

aokii

微分とは変化率計算ですから変化がないと。