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微分するとは？
- 微分とは、ある関数の導関数を求めることです。
- 導関数は、もとの関数を微分して得られる関数であり、微分することによって得られます。
- 微分することによって、関数の傾きや変化の速さを表す数値を求めることができます。
- aaaaaaruty
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- 数学・算数
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幾何学と結びつけて理解の一助としてはどうでしょうか。 幾何学といっても、2次元、つまり平らな紙の上に描いたグラフでいいです。 数式で「y＝-x^2」（^2は2乗という意味）をグラフに描くと、いわゆる放物線という曲線になります。 y＝-x^2を微分すると、y'＝-2xですね。それが何を表しているかと言うと、（各々の）xでのグラフの接線の傾きです。 では、その接線は何の意味があるか、ということになります。実際に何か物体を上向きに放れば、やはり放物線です。時々刻々、物体の速度は変わって行きます。その速度は、接線の傾きで表せるんですね。 もちろん、これだけではないですが、そうしたことに微分は使えます。 他に、やはり幾何学ですが、二つの直線が一点で交わっているとして、その交わる角度は分かります。直角に交わっているかどうかなどですね。それが二つ曲線だと、交わる角度をどう考えたらいいか、ちょっと迷います。 方法の一つとして、交わっている点での二つの曲線の接線を考えればいいのです。それを、二つの曲線の交わる角度として考えたりできます。 P.S. 微分が曲線の接線の傾きを表すのに対し、積分（定積分）は、曲線が与える面積を表せます。
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- jmh
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例えば、関数ｆ（ｘ）がお父さんだとすると、導関数ｆ’（ｘ）はその息子です。ｆ（ｘ）について知りたくてｆ’（ｘ）に尋問したりします。そしてｆ’（ｘ）の方が容易だったりします。
お礼
こんにちは 関数ｆ（ｘ）を理解するために、導関数ｆ’（ｘ）を用いて考える。 ・・・では、関数ｆ（ｘ）の何が知りたいんでしょう。何が知れるんでしょう。 と考えだしたらキリがないですかね。 うーん、数学のエキスパートの友だちがほしいです(笑) ご回答、ありがとうございました！
- alice_44
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辞書で調べたのが、失敗でしたね。 その説明は、対で見ると、典型的な循環定義になっていますが、 正しく循環しているので、矛盾はありません。 辞書は、言葉で言葉を説明するものなので、 ほぼ全ての説明が、手繰ってみると循環的になっているのです。 どこか出発点の言葉を知らなければ、意味をとることはできない。 質問文中の説明も、「微分する」を知っていれば「導関数」が、 「導関数」を知っていれば「微分する」が解るようになっています。 辞書としては、それで正しいのです。 「赤」と「赤い」の関係なども調べてみるとよいと思います。 数学で用語を定義するのとは、ちょっと違います。 「微分する」と「導関数」の数学的な定義を知るには、 解析学の教科書を見るとよいです。 そこでは、おそらく、まず「微分係数」が定義してあって、 変数 x を、関数 f(t) の t=x における微分係数へ写像する関数を、 f の「導関数」と言い、f'(x) などと書く。 関数 f に対し、その微分係数または導関数を求めることを、 f を「微分する」と言う。 …と書いてあるはずです。 「微分係数」のほうは、本により多少バリエーションはありますが、 lim[x→a] {f(x)-f(a)}/(x-a) と定義してあるのが通常です。 それに先立って、lim[x→a] の定義が必要ですね。 ここは、学年によって大きな違いがあって… 高校の教科書では、簡潔な定義は抜きで、x が a に近づくとき g(x) がひとつの値 b に近づくことを、lim[x→a] g(x) = b と書き、 b を x→a における g(x) の「極限」と言う。 …と説明してあります。 「近づく」とは何か？というと、lim から循環的に説明するしかない ので、これは辞書とよく似たスタイルです。 大学生向きの入門書では、いわゆるεδ論法によって、「極限」を 定義してあるものが大半です。 任意の正数 ε について、それに対応する正数 δ が存在して 以下の条件が成り立つことを、lim[x→a] g(x) = b と書き、 b を x→a における g(x) の「極限」と言う。 条件： |x-a|<δ ならば、|f(x)-b|<ε. 大学流の lim の定義は、初めて見るとトッツキニクイ印象ですが、 厳密で簡潔なので、慣れると使いやすいのです。 辞書や高校教科書のような循環的説明には、ならないし。 ここを出発点に、上記を遡って、「導関数」などを定義します。
お礼
こんにちは いやぁ、数学ってすごいですね。何と言うか、謎が謎を呼びます。理解したつもりでも、新たな"？"に辿り着いて果てしない感じです。 今度は「極限」とは何か、に躓きました(笑) 「最大・小」と「極限」の違いは何？という感じです。 うーん、大学では専門外ですが、もう少し勉強したくなりました。 ご回答、ありがとうございました！
- soixante
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最初の定義のところを読んでみるとよいと思いますよ。 f(x)=x^2 上の点P（x,x^2) ここから、hだけx座標が増加したところのf(x)上の点Q(x+h,(x+h)^2) 平均変化率を求める式は、(x+h)^2-x^2 / x+h-x ＝2hx + h^2 / h ＝h(2x + h) / h ＝2x+h このh を限りなく0に近づけていく、だから、2x。 f'(x)=2x だと導けます。 そうすると、Pにおける接線の傾き（その瞬間の変化率）が求まると私は理解しています。 具体的な数値で考えれば、よりわかりやすいかもしれません。 P(2,4）だったとして、Q(5,25) だったとしましょうか。 x座標は3増えて、y座標は21増えている。 この間の平均変化率は、21÷3＝7 PQを結ぶ直線の傾き。 ここでいう「3」をどんどん小さくしていく、限りなくゼロに近づけていくというイメージを私は持っています。 点Qが、点Pに近づいて行って、最終的には限りなく一致するところまで行きます。 となると、PQを結ぶ直線は、Pにおける接線となる、という感じでしょうか。
お礼
こんにちは >>このh を限りなく0に近づけていく 教科書でも同じような説明をされていたんですが、私はこの部分が引っ掛かりよく理解できませんでした。 "なぜ0に近付けるのだろう？"と、その行動の意味が分からなかったのですが、今考えてみるとhを0に近付ける理由は、直線上の傾きではなく、限りなく短い線＝点の傾き(その瞬間の変化率)を知るためなのかなぁ、となんとなくイメージできるようになりました。 ご回答、ありがとうございました！
- fjnobu
- ベストアンサー率21% (491/2332)
簡単に云うと変化分を求めると考えたらいかがでしょうか？ 40km/ｈで進んでいた車が10秒後に50km/ｈになったら1秒当たり1km/ｈの変化があった。 ブレーキをかけたら、マイナスの変化があったと考えるとわかりやすいかと思います。
お礼
こんにちは 車で走るとき、必ずしもその速さは一定ではなく変化する。 その変化分を求めるために微分する、ということですね^^ ご回答、ありがとうございました！
- guriccho
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いろいろ難しい説明はあるのでしょうが もっとも簡単な説明は そのの通りのことです。 曲線を、小さく小さく小さく微小に分けていくと その小さな部分では直線と考えることができませんか？ 微分とはそういうことなのです。 つまり難しい曲線の式を 直線に変えて簡単にしましょうということです。 例えば y=x^2の式は微分すると y=2x あるｘの値の時の曲線の傾きを表していると言えるでしょう。 ちなみに積分というのは 曲線で囲まれた範囲の面積を求めるとき 大きな正方形以外の部分を 小さな小さな小さな正方形で分割してしまうと 限りなく元の曲線で囲まれた部分の面積に近づくでしょう。 それが積分の意味です。 どうでしょうか。 簡単に理解できましたでしょうか？
お礼
こんにちは 成る程です。 たしか二次関数の放物線の傾きは、一次関数の直線とは異なり、一定ではないと習いました。図に書いてみると確かに一定ではないなと納得します。 では、その座標ごとに変化する曲線の傾きの値を知るために、微分するということでしょうか。 >>例えば y=x^2の式は微分すると y=2x >>あるｘの値の時の曲線の傾きを表していると言えるでしょう。 とありましたが、仮にx=1,3だとすると、 y(x)=x^2 y'(x)=2x x=1のとき、y'(1)=2 x=3のとき、y'(3)=6 よって、y=x^2の放物線においてx=1のとき、その傾きは2だが、x=3のときは、その傾きは6になる。 という理解で大丈夫でしょうか？ お手数をお掛けしてすみません。 よろしくお願いします。
- cd121975
- ベストアンサー率33% (1/3)
私は数学苦手なほうなのですが、 自分は、微分の意味を考えると難しいので、 もう計算処理だと考えてます
お礼
こんにちは 計算処理だと割り切って考えることもありますよね。 私は英語なんか特にそうです^^ どうして動詞にsが付いたり付かなかったりするんだろ？とは思いますが、とりあえずはこういうものなんだ、って割り切って考えます。 じゃないと他のことがなかなか出来なくなりますよね（- -;） ご回答、ありがとうございました！
- papabeatles
- ベストアンサー率15% (316/2083)
ざっくり言うと増え方減り方を求める方法です。 クルマの速度と加速度の関係が分かりやすいと思います。
お礼
こんにちは 身近な速度と加速度の関係にも、微分は関わってくるんですね。すごい。 ご回答、ありがとうございました！
お礼
こんにちは 微分することによって何が分かるのか。 その質問に対する的確で整然としたご回答、ありがとうございます。 とても分かりやすかったです。 また、積分にも触れていただきありがとうございました。 おいおい積分に関しても勉強しなければならなかったので、ここでイメージのヒントを与えていただき、とても嬉しいです。 ご回答、ありがとうございました！