微分の公式の導き方

質問

[f(x)^n]’＝n[f(x)]^(ｎ-1)*f’(x)
f(x)のｎ乗の微分＝ｎかけるｆ(ｘ)のｎ-1乗かけるｆ(ｘ)の微分
(わかりにくくてすみません)

の証明方法を教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.1

ONEONE · ベストアンサー

[１]合成関数の微分の証明

y={f(x)}^n=g(u)、u=f(x)
Δy=g(u+Δu)-g(u)、Δu=Δf(x+Δx)-f(x)とおくと
Δx→0のときΔu→0なのでΔu≠0（＊）のとき
dy/dx＝lim[Δx→0]Δy/Δx＝lim[Δx→0](Δy/Δu)・(Δu/Δx)
＝lim[Δu→0](Δy/Δu)・lim[Δx→0](Δu/Δx)
＝(dy/du)・(du/dx)
＝｛df(x)^n／df(x)｝・｛df(x)/dx｝
＝｛f(x)^n｝´・f´(x)

（＊）Δx=0のときは知らんぷりでいいいと思うが。

[２]｛f(x)^n｝´＝n・{f(x)}^(n-1)の証明

また微分の定義式から
f(x)=uとおいてn∈Nのとき
｛f(x)^n｝´＝lim[h→0]｛(u+h)^n-u^n｝/h
ここで
(u+h)^n-u^n＝（nＣ0・u^n・h^0＋nＣ1・u^(n-1)・h^1＋・・・＋nＣn・u^0・h^n）-u^n
＝nＣ1・u^(n-1)・h^1＋・・・＋nＣn・u^0・h^n
ゆえに
{(u+h)^n-u^n}／h=n・u^(n-1)＋・・・＋nＣn・u^0・h^(n-1)
→n・u^(n-1)　　(h→0)
したがって｛f(x)^n｝´＝n・{f(x)}^(n-1)

n∈Ｎのときのみやりましたがn∈Ｚ、n∈Ｑのときも教科書に載ってるから。

お礼

ご回答ありがとうございます。
よくわかりました。
参考にさせていただきます(＾＾)

回答No.5

i536

f(x)>0の場合、対数での微分はどうでしょうか？

y=f(x)^nから、
ln(y)=ln(f(x)^n)=n*ln(f(x))---(1)

式(1)の両辺をxで微分すると、

y'/y=n*f'(x)/f(x)

∴y'=n*(f'(x)/f(x))*y=n*f'(x)*f(x)^(n-1).

お礼

対数での微分もできるんですね～
二かいも解答してくださってありがとうございます。

回答No.4

ahiruhaahiru

単純に微分の定義に戻ってやったらどうですか。
強引すぎますかね？
間違ってはいないと思いますが。

f(x+h)^n-f(x)^n=[f(x+h)-f(x)]*[f(x+h)^(n-1)+f(x+h)^(n-2)*f(x)+f(x+h)^(n-3)*f(x)^2+・・・・・・+f(x+h)*f(x)^(n-2)+f(x)^(n-1)]

[f(x+h)^n-f(x)^n]/h={[f(x+h)-f(x)]/h}*[f(x+h)^(n-1)+f(x+h)^(n-2)*f(x)+f(x+h)^(n-3)*f(x)^2+・・・・・・+f(x+h)*f(x)^(n-2)+f(x)^(n-1)]

ここでh→0の極限をとれば
[f(x+h)-f(x)]/h→f’(x)
f(x+h)^(n-k)*f(x)^(k-1)→f(x)^(n-1)でこいつが全部でn個ある

したがって

[f(x)^n]’
=(lim(f(x+h)-f(x))/h)*lim(f(x+h)^(n-1)+f(x+h)^(n-2)*f(x)+f(x+h)^(n-3)*f(x)^2+・・・・・・+f(x+h)*f(x)^(n-2)+f(x)^(n-1))
=f’(x)*[nf(x)^(n-1)]
=n[f(x)]^(n-1)*f’(x)

お礼

どうもありがとうございます。
微分の定義による証明ですか！
参考にさせていただきます(＾＾)/

回答No.3

coji314

＃１、＃２の積の微分と帰納法を用いる方法以外では、
定義に従って微分するとき、二項定理を用いて展開する方法があります。

例えばｎ＝３のときで考えると
（ｌｉｍは省略します。）
ｆ’(ｘ)＝（(ｘ＋ｈ)＾３－ｘ＾３）/ｈ
＝（（ｘ＾３＋３ｘ＾２・ｈ＋３ｘ・ｈ＾２＋ｈ＾３）－ｘ＾３）/ｈ
＝（３ｘ＾２・ｈ＋３ｘ・ｈ＾２＋ｈ＾３）/ｈ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・(１)
＝（３ｘ＾２＋３ｘ・ｈ＋ｈ＾２）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・(２)
＝３ｘ＾２
となりますが、
ｎ＝４以上でも
展開するとｘ＾ｎの項が消え・・・(１)
ｈが１回ずつ約分でき・・・(２)
必要なところ以外はｈ→０で消えることになるわけです。

パソコン上だと指数がみにくいですが、
ｎ＝４あたりでやってみると分かると思います。
疑問があれば聞いてください。

お礼

どうもありがとうございます。
定義での証明もできますね！
色んな証明がありますね～。
参考にさせていただきます。

回答No.2

i536

帰納法はどうですか？

(f(x)^n)’＝n*(f(x)^(ｎ-1))*f'(x) ---(1)

n=1のとき、
(f(x)^1)'=f'(x)=1*(f(x)^(1-1))*f'(x)---(2)
従って、式(1)で成立する。

n=kのとき、式(1)が成立すると仮定する。
すなわち、次式(3)が成立すると仮定する。
(f(x)^k)’＝k*(f(x)^(k-1))*f'(x)---(3)

すると、n=k+1のとき,
(f(x)^(k+1))'
=((f(x)^k)*f(x))'
=(f(x)^k)'*f(x)+(f(x)^k)*f(x)' ---積の微分公式より
=k*(f(x)^(k-1))*f'(x)*f(x)+(f(x)^k)*f(x)'---仮定(3)より
=(k+1)*(f(x)^((k+1)-1))*f(x)'---(4)
となって、式(1)が成立する。

以上から、すべての n>=1　について、下記が成立する。

(f(x)^n)’＝n*(f(x)^(ｎ-1))*f'(x) .

お礼

ご回答有り難うございます。
いろんな角度からものを見れるとよいですよね。
帰納法での証明、参考にさせていただきます。