微分可能について(> <)

質問

関数f(x)はf(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y)を満たしているとする。またf(x)はｘ＝0で微分可能である。このときこの関数はすべてのｘで微分可能であることを証明せよ。

という問題が全然分かりません。

どなたかわかりやすく説明してください…！！

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

場合分けが必要です。

f(x+y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y) に
y = 0 を代入すると 0 = f(0){ 1 + f(x) } となることより、
f(0) = 0 または、任意の x について f(x) = -1 です。

f(0) = 0 の場合は、f(x+y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y) を
{ f(x+y) - f(x) }/y = { f(x) + 1 }{ f(y) - 0 }/y と変形して、
lim[y→0]{ f(x+y) - f(x) }/y = { 1 + f(x) } f'(0).
左辺も収束することが示せました。

f(x) = -1 の場合は、定数関数だから、微分できますね。

お礼

わかりやすかったです！ありがとうございました(*^^*)