簡単な大学の微積

質問

aが正の実数で、f(x)=|x|^a,　f(0)=0のとき、
x≠0とすると、f'(x)はいくつになりますか？
x＝0とすると、f(x)が微分可能であるためのaの条件は何ですか？あと、そのときのf'(0)は何ですか？
申し訳ないですが教えてください。

回答No.1

waseda2003 · ベストアンサー

x>0 のとき f(x) = x^a，
x<0 のとき f(x) = (-x)^a = ((-1)^a)*x^a

ですから，x≠0のときは（微分可能なので）公式を用いてふつうに微分すればよいと思います。（難しく考えすぎ？）

後半は「x = 0で微分可能である条件を求めよ」ということでよろしいのでしょうか。

x>0 のとき {f(x)-f(0)}/(x-0) = x^(a-１)
x<0 のとき {f(x)-f(0)}/(x-0) = -(-x)^(a-1)

ですから，x = 0における右微分係数と左微分係数がともに存在する条件は a-1≧0 で，そのうち a = 1のときだけは一致しませんから，

f(x)がx = 0で微分可能であるための条件は a>1，
そのとき f '(0) = 0

ところで，この問題文を見る限りでは純粋に高校数学だと思うのですが，なぜ「大学の微積」というタイトルをつけたのでしょうか。

回答No.2

noname#24477

ｘ＞０のときf(x)=x^a　ｆ’（ｘ）＝ax^(a-1)
ｘ＜０のときf(x)=(-x)^a　ｆ’（ｘ）＝-a(-x)^(a-1)

ｘ＝０のとき
ｆ’（０）＝lim(|h|^a-0)/h
の極限値があるかどうか。
ｈ＞０のときとｈ＜０のときに分けて調べます。
結論はa>１のときに右極限と左極限が一致する。