微積の問題です

質問

f(x)は二次式であり、すべての実数xに対して(2x+3)f'(x)-4f(x)-1=0を満たしている。このときのf(x)を求めよ。
という問題です。

f(0)=0になるらしいんですが、その理由がわからないです 。それさえわかれば、解けるのですが…

教えてください！

回答No.5

178-tall

> … 変数分離というものの存在を知りませんでした…。これで解けるんですか？

「変数分離」タイプの微分方程式になってます。

　(2x+3)f'(x)-4f(x)-1=0
　　↓ ふつうの表記
　(2x+3)(dy/dx) = 4y+1
　　↓ 「変数分離」
　dy/(4y+1) = dx/(2x+3)
　　↓ 両辺を積分 (原始関数)
　(1/4)LN(4y+1) = (1/2)LN(2x+3)
　　↓ 整形
　(4y+1)^(1/4) = (2x+3)^(1/2)
　(4y+1) = (2x+3)^2
　y = f(x) = (1/4)*{ (2x+3)^2 - 1}

右辺に「積分定数 C」を加えてチョン。f(0)=0 として C を決定。

回答No.4

178-tall

>(2x+3)f'(x)-4f(x)-1=0
　　　↓
ふつうに f(x) = y, f'(x) = dy/dx として、「変数分離」で解くのは「このテストの場合、ルール違反」なの？

　dy/(4y+1) = dx/(2x+3)

ウンヌン…。

お礼

ルール違反ということはないと思いますが、変数分離というものの存在を知りませんでした…。これで解けるんですか？

回答No.3

kinta-

f(x)=ax^2 + bx + c を代入して、整理すれば

(6a-2b)x + 3b - 4c -1 =0

となります。この式の、ｘの係数が０、定数項が０となれば、題意を満たせます。
しかし、未知数３つに対して、式が２つしか得られません。(つまり連立方程式がとけません）

そこで　c=0　とすれば、　b=1/3 , a=1/9 として、与式を満たすf(x)が決まります。このとき、f(0)=0です。

という感じでいいのでしょうか・・・・

お礼

どうやら問題のミスで、f(0)=0という条件を書き忘れたようでした。笑
ありがとうございました！

回答No.2

Tacosan

ん～, 「f(0)=0」なんて知らなくても解けるよね?

お礼

そうなんですか？！
まだあまり深いところまで学習してないので、全くわかりません…

回答No.1

info22_

(2x+3)f'(x)-4f(x)-1=0 ...(1)

f(x)=ax^2+bx+c (a≠0) ...(2)とおけば
f'(x)=2ax+b ...(3)
(2)(3)を(1)に代入して整理すると
2(3a-b)x+3b-4c-1=0 ...(4)
(4)が全ての実数について成立することから
xの恒等式と見なせる。
したがって
　3a-b=0, 3b-4c=1
∴a=b/3, c=(3b-1)/4 ...(5)
f(x)=(b/3)x^2+bx+(3b-1)/4 ...(6)

条件が不足しているので　b(≠0)は消去できません。
>f(0)=0になるらしいんですが、その理由がわからないです 。
「f(0)=0になるらしいんですが」ではなく、「与えられた条件」ではないですか？
そうなら、f(x)はf(0)=0を満たすことは与えられた2次式の条件なので、理由などは必要ないでしょう。
(6)にf(0)=0を適用すると
　(3b-1)/4=0 ∴b=1/3 ...(7)
(6)に(7)を代入
　f(x)=(1/9)x^2+(1/3)x ...(答え)

お礼

f(0)=0という条件を書き忘れていたようでした…笑
ありがとうございました！