f(x+y)=f(x)+f(y)

質問

f(x)がx=0で微分可能として、f(x+y)=f(x)+f(y)という条件を満たすとすると、f(x)はすべての実数で微分可能なことを示すという問題なのですが、
rを実数としてf(0)=f(r)+f(-r)をすべての実数が満たす。左辺が微分可能なので、右辺も微分可能っていうのはいい加減すぎますか？

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

> 左辺が微分可能なので、右辺も微分可能

というだけならもちろん結構ですけど、ただそれだけの話であって、f(r)について何か言えた事にはなっていない、というのがANo.1のご指摘だと思いますが、多分誤解されるだろうなと思うんで、勝手に補足説明を付けます。

　もし「f(x)がx=0で微分可能で、かつf(0)=f(r)+f(-r)をすべての実数rが満たすならば、f(r)は全ての実数で微分可能」だとお考えなら×。
　例えば、
　　f(0)=0, f(x)=-f(-x)
ならば、f(x)がどんなにギザギザガタガタであっても、x=0の周囲だけ滑らかなら、確かに「f(x)がx=0で微分可能で、かつf(0)=f(r)+f(-r)をすべての実数rが満たす」。
　つまり、f(0)=f(r)+f(-r)だけじゃ
　　f(x+y)=f(x)+f(y)
という性質（線形性）が活かされていないんですよ。yに0を代入してみなきゃね。

お礼

回答ありがとうございました。

なるほど　確かにこれだけじゃ説明として足りてないことはわかりました。

yにゼロを代入するのは少しだけ考えたんですけど、f(x)=f(x)+f(0) f(0)=0という結論以外でてこなさそうだったので、考えるのをやめてしまいました。改めて考えたんですが、これをどうするのかがわかりません。

補足

0は代入してませんが、f(x+x)=2f(x)というのをくりかえしていけば、f(nx)=nf(x) (ｎは整数）　となることから、f(x)=kxつまり線形性の話になって、すべての実数において微分できることは明らかである。といけるかなとおもったのですが、、、

これは、f(nx)=nf(x)になることを説明したら、そこからすぐによってf(x)はf(0)=0の一次関数であると結論付けていいのでしょうか？

以前にも似たような質問させていただいたことがあるのですが、条件を満たす関数がこれしかないって話が苦手で。。。　まったく見当違いでしたらごめんなさい。

回答No.5

stomachman

#4 <

　ANo.2 で　

>> yに0を代入してみなきゃね。

　一度は「yにΔxを代入してみなきゃね」と書いたけど、これじゃ易しくなりすぎだなと、わざわざ0に直したんですってばぁー ~ ;-)

回答No.4

kabaokaba

＃たぶん，No.1さん，No.2さん分かってていわないんだろうけど(^^;

なんで微分係数の定義にそのままあてはめるってことをしないの？
数行で証明終わるはず．

お礼

回答ありがとうございましたー　おわりました数行で笑

回答No.3

Tacosan

補足ありがとうございます＞#2.

つまり, 確かに「f, g が微分可能ならそれらの和 f+g も微分可能」なんだけど, 逆に「f+g が微分可能なときに f や g が微分可能」であることは保証されないんです. たとえば
f(x) =
-1 if x < -1,
x if |x| ≦ 1,
+1 if x > 1
という関数を考えてみればいい. これは「f(x) が x=0 で微分可能」かつ「任意の r について f(0) = f(r) + f(-r)」を満たすけど x = ±1 で微分できないでしょ?

お礼

回答ありがとうございました。
質問中の文だけじゃ足りないのはわかりました。　ただこのあといまいちどうすればいいのかがわからないんですが、、、
解答がないので、みるわけにもいかず。。。簡単なヒントでもいいので教えてくだされば幸いです。

回答No.1

Tacosan

「左辺が微分可能なので、右辺も微分可能」は問題ないです.

ただ, 「だから?」って聞かれると困るんじゃないかなぁ.

お礼

＞ただ, 「だから?」って聞かれると困るんじゃないかなぁ.
うへんがびぶんかのうだからf(r)もf(-r)も微分可能だから、すべての実数で微分可能　がいい加減すぎますか