三角関数の方程式

質問

三角関数の方程式
cos２θ＝sinθ＋cosθ
がどうしても解けません。
cos２θ＝cosθ＾２－siｎθ＾２を使うのでしょうか？

なにぶん５５歳で独学で数学をやっておりますので誰にも聞くことが出来ませんなにとぞよろしくお願いします。

回答No.3

2ac0uO · ベストアンサー

どちらも、移行して、二乗して、cos^2(θ)＋siｎ^2(θ)＝１ を使って整理します。
途中は省略しますが、

(cosθ＋sinθ) = 0 の解
siｎ^2(θ)＝１/2
この条件で (cosθ＋sinθ) = 0 を満たすのは、
siｎθ ＝ １/√2，cosθ = -１/√2 ・・・・・ (1)
ないし、
siｎθ ＝ -１/√2，cosθ = １/√2 ・・・・・ (2)

(cosθ－sinθ- 1) = 0 の解
siｎθ (siｎθ + 1) = 0
この条件で (cosθ－sinθ- 1) = 0 を満たすのは、
siｎθ ＝ 0，cosθ = 1 ・・・・・ (3)
ないし、
siｎθ ＝ -1，cosθ = 0 ・・・・・ (4)

任意の整数を n とおくと、
(1) ・・・・・ (2n + 3/4)π
(2) ・・・・・ (2n + 7/4)π
(3) ・・・・・ (2n)π
(4) ・・・・・ (2n + 3/2)π

お礼

回答ありがとうございました。
　今晩ゆっくり勉強したいと思います。
　本当に数学は難しいけど、解けたときの快感はたまらないですね。
　退職したら大学で数学を勉強することが現在の目標になっております。頑張ります。

回答No.2

2ac0uO

最後の辺りをもう少し詳しく書きますと、

(cosθ＋sinθ)(cosθ－sinθ) = sinθ＋cosθ

(cosθ＋sinθ)(cosθ－sinθ - 1) = 0

(cosθ＋sinθ) = 0
ないし、
(cosθ－sinθ - 1) = 0

どちらの方程式の解も、最初の方程式の解となります。

お礼

回答ありがとうございます。
(cosθ＋sinθ) = 0
の解はθ＝πだけなのでしょうか？

(cosθ－sinθ - 1) = 0
　の解はπ／４であっておりますでしょうか？

回答No.1

178-tall

>cos２θ＝sinθ＋cosθ がどうしても解けません。
>cos２θ＝cosθ＾２－siｎθ＾２を使うのでしょうか？

それで解けそうですね。

cos(2θ)＝cos^2(θ)－siｎ^2(θ)＝(cosθ＋sinθ)(cosθ－sinθ)
これが sinθ＋cosθ と等しいなら、

　(cosθ－sinθ)＝1

…ということは？

お礼

なるほど、こんなに簡単な問題だったのですね。回答ありがとうございます。
近年私の頭が緩くなっているのを実感します。