三角関数の入った方程式を教えて下さい

質問

C={L-(600*cosA)}/{cos(2*A)}
C={H-(600*sinA)}/{sin(2*A)}
この2つの方程式を合成して、Cの答えをLとHの数値を入れればでるようにしたいのです。
三角関数の方程式など、はるか昔の思い出です。
いろいろ調べてみましたが、どの公式を使ってみてもすっきりとまとまってくれません。
どなたか、教えていただけないでしょうか。

回答No.6

ondy

＃３、＃５です。
勘違いしてしまいすみませんでした。
gttaさんが立てた方程式とは別の方程式を立ててみたところ、Ｃの４次方程式になりました。これで＃３の６次方程式を割り算すればＣの２次方程式に落ち着くはずですが…。

まず、辺Ｂと辺Ｌを延長し、その交点を新しい頂点にすれば全体として大きな三角形ができます。２本の延長線と辺Ｃを三辺とする三角形はＣを等辺とする二等辺三角形です。よって延長線どうしが成す角の大きさはＡなので、延長線どうしの交点までの長さが求まります。つまり大きな三角形の三辺の長さは(C+L),H,(B+2cosA)です。三平方の定理から
(C+L)^2+H^2=(B+2cosA)^2…(1)
という方程式が作れます。
次に２倍角の公式
cos2A=2(cosA)^2-1
を使ってgttaさんの式
C=(L-BcosA)/cos2A
からcos2Aを消去します。
これと(1)からcosAが消去できて、方程式をがんばって整理すればＣの４次方程式になります。
これで＃３の６次方程式を（それぞれ定数項を右辺に移項しておいて）両辺どうし割ればＣの２次方程式ができて理屈の上ではＣが求まることになりますが、おそろしく面倒な計算になります。
ちなみに計算の途中ではＢは600としないで文字のまま計算したほうが良いです。
何かうまいやり方があると思うのですが。ごめんなさい、分かりません。

お礼

何度もありがとうございます。
とんでもなく複雑な計算ですね。
うすうす感じてはいたのですが、ちょっと尻込み気味になってきました。

>三辺の長さは(C+L),H,(B+2cosA)

最後の1辺は(B-2CcosA)の間違いかな・・・。

>方程式をがんばって整理すればＣの４次方程式になります。

半端な長さじゃないですね。
たいへんだなぁ。

>これで＃３の６次方程式を（それぞれ定数項を右辺に移項しておいて）両辺どうし割ればＣの２次方程式ができて理屈の上ではＣが求まることになります

ここがよく分かりません。
どうすればできますか。
式の長さが尋常な量じゃなくなるが故に表示しきれないのでしょうね。

>何かうまいやり方があると思うのですが。ごめんなさい、分かりません。

ホントにそうですね。
どなたか分かる方見えないでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.5

ondy

＃３です。
直角三角形の斜辺を切断し、それぞれの頂角を蝶番のように曲げ、再び切断した辺をつないで四角形にするということでしょうか。
最初の、直角三角形であることの条件を使えばその時点で角Ａに関係なく三平方の定理で
L^2+H^2=(B+C)^2
が成り立つのでCは簡単に求まるはずですが…。
いわゆる引っ掛けの部類の問題ではありませんか？

角Ａの余弦なら次の方法で求まります。
辺Ｂと辺Ｌを延長し、その交点を新しい頂点にすれば全体として大きな三角形ができます。２本の延長線と辺Ｃを三辺とする三角形はＣを等辺とする二等辺三角形です。よって延長線どうしが成す角の大きさはＡなので、延長線どうしの交点までの長さが求まります。つまり大きな三角形の三辺の長さは(C+L),H,(B+2cosA)です。ここで余弦定理を使うと
H^2=(C+L)^2+(B+2cosA)^2-2(C+L)(B+2cosA)cosA
よりcosAが求められます。

ちなみに方程式の解の近似の方法としてはニュートン法というものがあります。
的外れでしたらごめんなさい。

お礼

ありがとうございます。
ちょっと、違います。
説明がへたですいません。

もう少し具体的に説明してみます。
水平線Lと垂直線Hの2辺を直角とした直角三角形のもうひとつの辺をB,C二つに分割し、そのうちHと繋がる短辺Bを600とし、辺Cの長さを下記角度条件を満たすように変更して四角形にします。
この時辺L、Hは直角のままです。
水平線Ｌと長辺Cとの角度(2*A)度とします。
短辺Bの傾きは水平よりA度とします。
L=***,H=***とします。
さて、長辺Cの長さはどうなるでしょうか。

いかがでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.4

postro

#1です
とんでもなく間違った投稿をしてしまいました。
お詫びして撤回させていただきます。

回答No.3

ondy

パラメータである角Aを消去してCをLとHで表したいのですね。
泥臭い計算をやった結果、次のようなCの６次方程式にたどり着きました。
C^6+LC^5-(2L^2+2H^2+600^2)C^4-2(L^3+LH^2+204×300^2)C^3-(404×(300L)^2+396×(300H)^2-(L^2+H~2)^2+L(L^2+H^2+600^2)(L^2+H^2+404×300^2)C+400×300^2(L^2+H^2)(L^2+H^2+600^2)=0

まずcosθ+sinθ=1の関係を使ってcos2Aとsin2Aを消去します。整理すると次のようになります。
L^2+H^2+600^2-1200(LcosA+HsinA)=C^2…(1)

ところで最初の式
C=(L-600cosA)/cos2A
で、cos2A=2(cosA)^2-1
を使ってcos2Aを消去するとcosAの二次方程式になるのでcosAはCとLで表せます。このcosAを(1)に代入します。
次にC=(H-600sinA)/sin2Aですが、
sin2A=2sinAcosAでsin2Aを消去します。さっき求めたcosAを代入すればsinAは求まります。これを(1)に代入すればAが消去できたことになります。
ルートが入っていて限りなく見通しの悪い式ですががんばってCについて整理すれば上のような６次方程式になりました。
でも、LとHを入れて解ける場合はほとんどないでしょう。近似解でよいなら参考にしてください。

コイルとコンデンサを含む回路についての方程式ですか？

お礼

ありがとうございます。
6次方程式ですか・・・。
すいません。どうやって解くのでしょうか。
近似解すら解き方がわかりません。

LとHの辺を直角とした直角三角形のもうひとつの辺をB,C二つに分割し、そのうちHと繋がる短辺Bを600とした四角形にします。
Ｌと長辺Cとの角度(2*A)度とします。
短辺Bの傾きはA度とします。
L=***,H=***とします。
さて、長辺Cの長さはどうなるでしょうか。

こんな感じの図形問題です。
図形がないので説明がわかりにくいかもしれませんね。

実務でLとHをそれぞれ20種類くらい組み合わせて、それぞれ、長辺Cの長さを算出する必要があるのです。

よろしくお願いします。

回答No.2

grothendieck

sinA≧0 とすると二つの方程式はそれぞれ
　C={L - ( 600 cosA ) }/{2cos^2(A) - 1}
　C={H - ( 600 √(1 - cos^2(A)) ) }/{2cosA√(1 - cos^2(A))}
になります。上の式はcosA について2次方程式なのでcosA について解いて下の式に代入するとAが消去され、CをLとHの陰関数として定める式が得られます。それをさらにCについて解くことは大変かもしれませんが、後はお任せします。

お礼

ありがとうございます。
実は、ここまではできたのです。
ここからＡを消すことができなかったのです。

回答No.1

postro

＞C={L-(600*cosA)}/{cos(2*A)}　　・・・ア
＞C={H-(600*sinA)}/{sin(2*A)}　　・・・イ

たとえばA=３０°としてみましょう。
ア式は　C=2(L-300√3)　　・・・ウ
イ式は　C=(2/√3)(H-300)　　・・・エ
となります。
ウにより、Lが決まればCは決まってしまいます。したがってエのHは必然的に決まります。
よってgttaさんの思われている「Cの答えをLとHの数値を入れればでるようにしたい」という要求は無理だと思います。
ところで、これは何の方程式なのでしょうか？