三角方程式について

質問

現在高1の者です。
三角方程式の問題で、どうしても解けない問題がでてきました；

0°≦ θ ＜ 180°で
4cosθ＋2sinθ＝√2のときtanθを求めよ。
という問題です。

両辺を二乗したり、
sinθをcosθtanθに置き換えてみたりしたのですが、
どうも上手く解けませんでした。
1＋tan^2θ＝1/cos^2θをどこかで使うのだろうか・・・など考えたりもしたのですが、ダメでした；

どなたか宜しければアドバイス等お願いします。

回答No.3

take_5 · ベストアンサー

cosθs＝x、sinθ＝yとすると、-1＜x≦1、0≦y≦1‥‥(1)
条件より、x＾2＋y＾2＝1　‥‥(2)、4x＋2y＝√2　‥‥(3)。
(3)よりyを(2)に代入して消去・整理すると、（2x-√2）*（10x+√2）＝0.
しかし、2x＝√2の時は、√2y＝-1となり(1)に反する。
従って、10x+√2＝0であるが、このとき10y＝7√2。これは(1)を満たす。
tanθ＝y/x＝‥‥＝-7。

お礼

とても解りやすかったです。
参考にさせていただき問題をやったところ、
無事解くことができました。
ありがとうございました。

回答No.5

take_5

簡単な別解を示しておく。

tanθ＝sinθ/cosθ＝y/x＝mとする。
但し、条件から、-1＜x≦1、0≦y≦1‥‥(1)
y＝mxであるから、4cosθ＋2sinθ＝√2に代入すると、m＋2≠0よりx＝√2/（2m+4）、y＝√2*m/（2m+4）である。
x＾2＋y＾2＝1にこれらを代入する。結果は、（m＋1）*（m＋7）＝0である。
しかし、(1)より0≦yであるから、y＝√2*m/（2m+4）≧0となり、m≧0、or、m＜-2であるから、m＝-7。

他にも解法があるが、高1には無理だろうから止めておく。。。。笑

お礼

たくさん解き方があるのですね。
色々試してみたいと思います。
とても参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.4

age_momo

>両辺を二乗したり、

16(cosθ)^2+16cosθsinθ+4(sinθ)^2=2
12(cosθ)^2+16cosθsinθ+4=2
12(cosθ)^2+16cosθsinθ+2=0
6(cosθ)^2+8cosθsinθ+1=0

>sinθをcosθtanθに置き換えてみたりしたのですが、

6(cosθ)^2+8cosθcosθtanθ+1=0
2(cosθ)^2(3+4tanθ)+1=0
2(3+4tanθ)+1/(cosθ)^2=0　(∵cosθ=0,sinθ=1⇒4cosθ＋2sinθ≠√2)

>1＋tan^2θ＝1/cos^2θをどこかで使うのだろうか・・・

2(3+4tanθ)+1＋(tanθ)^2=0
(tanθ)^2+8tanθ+7=0
(tanθ+1)(tanθ+7)=0

全部使えば解けるはず。

お礼

なるほど・・・。
頭を柔らかくして、色々と組み合わせることが大事ですね；
もう一度問題に挑戦し、無事解くことができました。
ありがとうございました。

回答No.2

kumipapa

4 cosθ + 2 sinθ = √2
√20{ (4/√20)cosθ + (2/√20)sinθ } = √2
⇔
（sinφ = 4/√20, cosφ=2/√20, tanφ = 2）
sin(θ + φ) = 1/√10

ここで、
cos(θ + φ) = ±√(1-sin^2(θ+φ)) = ±3/√10
tan(θ + φ) = sin(θ+φ)/cos(θ+φ) = ±1/3

tan(θ + φ) = (tanθ + tanφ)/(1 - tanφtanθ)　= (tanθ + 2)/(1 - 2tanθ)
より、
tan(θ + φ) = 1/3 をとくと tanθ = -1
tan(θ + φ) = -1/3 をとくと tanθ = -7
以上は、必要条件だけで計算してきてしまいましたから、これら tanθ が元の式を満足するかどうかを調べなければなりません。
0°≦θ＜180°で、
tanθ = -1 →　cosθ = -1/√2, sinθ = 1/√2 → 4cosθ + 2sinθ = -√2 なので不適
tanθ = -7 → cosθ = -1/(5√2), sinθ = 7/(5√2) → 4cosθ + 2sinθ = √2

故に tanθ = -7

お礼

ご説明ありがとうございます。
このような考え方もあるのですね・・・。
勉強になりました。
ありがとうございました。

回答No.1

noname#168349

三角方程式は
(cosθ)^2+(sinθ)^2=1
sinθ/cosθ=tanθ
を使って、sinθ（またはcosθ）のみの式に変形するのが基本です。

お礼

考え方は２乗やtanθ＝sinθ/cosθで合っていたんですね。
もう少し頭をひねれば解けたようです・・・。

今後問題を解いていくために、役立ちます。
アドバイスありがとうございました。