数学の通過領域の問題についての質問です

質問

数学の通過領域の問題についての質問です
大学への数学という雑誌で取り上げられているファクシミリ(1文字固定)という解法なんですが、あれは式がyの一次式だから出来るのでしょうか？
yの二次式だと出来ないのでしょうか？

回答No.2

f272 · ベストアンサー

ファクシミリというのがいまだにどんなやり方なのかよくわからないが，今の例題の場合だったら
y=t^2-1±√(t^4+t^2-2xt+1-x^2)
というようにy＝tの式になっているから同じようにやればいいんじゃないの？

でも，例題の場合なら普通はこうするんじゃないのかなあ。

円の中心はy=x^2+1の上にあるので(t,t^2+1)とあらわされ，x軸に接することから
(x-t)^2+(y-t^2-1)^2=(t^2+1)^2
が円の式となる。簡単にして
(x-t)^2+y^2-2y(t^2+1)=0
(1-2y)t^2-2xt+x^2+y^2-2y=0
であるが，この式を満たすようなt>0が存在すれば題意を満たす。

y=1/2のときは-2xt+x^2-3/4=0となる。
さらにx=0であれば-3/4=0となって不適だからx≠0であって，t=(x^2-3/4)/(2x)>0

y≠1/2のときはtの二次方程式f(t)=(1-2y)t^2-2xt+x^2+y^2-2y=0になっているから，まず判別式は非負である。
D/4=x^2-(1-2y)(x^2+y^2-2y)>=0
さらにt^2の係数(1-2y)とf(0)=(x^2+y^2-2y)が異符号であるか，または同符号で軸x/(1-2y)が正であれば，t>0である解をもつ。

お礼

やはりyが一次にならないと一文字固定の醍醐味はでないということっぽいですね
丁寧に指針まで示してくれてありがとうございます

回答No.1

f272

ファクシミリという解法がいったいどんな解法なのかを書いてね。
ところで高校までにyの二次式つまりy^2を含むような式が出てくるの？

お礼

回答ありがとうございます

補足

ファクシミリというのは通過領域問題で例えばy、x、tの3文字が出てくる式になったときにy＝tの式としてxは固定して見るという方法で解の配置に帰着させるよりも楽に解けます
が、3字の式にした時にy＝tの式とする時にyの部分が二次式になると、どうすればいいかわからなくなります。

例題
放物線y=x^2+1の第一象限に含まれる部分の上に中心をもち、x軸に接する円が通るような点全体の集合を求め、図示せよ。