数学が得意な方!ご教授ください!!

質問

数学が得意な方!ご教授ください!!

lim(n→∞)　∫…∫n/(x1+…+xn) dx1dx2…dxn = 2　を示せ。(積分区間は全て[0,1])

という問題なのですが、全く手がつけられず困っております。
噂だとガンマ分布を用いるらしいのですが、その適用法なども含め全く方針がたちません(汗)

解法をご教授していただけたら幸いです…!

個人的にたどりついたところですと…
この問題は、xiを[0,1]上の乱数とした時の、n/(x1+…+xn)の期待値に相当するというところまでは解釈いたしましたが…どうにも手詰まりです；

よろしくお願いいたします!!

回答No.1

rabbit_cat

どこか問題がおかしいような感じです。

∫…∫n/(x1+…+xn) dx1dx2…dxn 　(積分区間は全て[0,1])
は全てのｎについて収束しませんが。。（あえて言えば∞です）

とりあえず、その積分は、
X = x1+…+xn
とでも置いて、
積分変数を、{x1,x2,…,xn}から、{x1,x2,…,xn-1,X}に変数変換すればよいです

変数変換のヤコビアンは、n ですから

∫…∫n/(x1+…+xn) dx1dx2…dxn = ∫…∫dx1dx2…dxn-1∫n^2/X dX = n^2×(logn - log0)

ということになりますが。。

補足

僕の直感的理解ですと、n/(x1+x2+…+xn)→2 (n→∞)に収束する([0,1]上の一様乱数ととらえれば)ことから、なんとなく与式は正しいのかな?と考えている次第です。
ここから、(与式)=E[n/(x1+…+xn)]　となり中心極限定理より、n/(x1+…+xn) (←zn) がN(1/2,1/12n)に従う感じになるのかなぁ～と。
そしてN(←正規分布)は、n→∞に飛ばすとδ関数になるので、(与式)=∫　1/zn * δ(zn - 1/2)dz =1/2

となり、かなり直感的な理解ですが、やはり1/2に収束するのかなぁ～と。

本問題と似た事例で、指数分布のλの最尤推定量の期待値が挙げられるのですが…その時はガンマ分布の再生性がうんぬんカンヌンという感じで解くというのを聞いたことがあるので、本問題にも応用できないものかと思案しておりました>_<
周りの人間の結構な人もお手上げの状態なので少々諦めムードですが^^;

しかし、ご回答くださってありがとうございます!!
変数変換の観点はあまり意識していなかったので、そちらから再考してみようかと思います。