数学の質問です。

質問

解き方の糸口すら見えなかったのでご教授お願いします。
　極限値　lim n→∞ ∫0→π log(1+x)|sin(nx)|dx を求めよ。
という問題です。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

凄く直感的なことを言うと：

|sin(nx)|はnが大きくなると凄く激しく振動するようになり、振動の「一山」( mπ/n ≦ x ≦ (m+1)π/n）の間、log(1+x)の値はほぼ変わらないけど、|sin(nx)|の値だけが0から1の間で振動する。そうすると、求める積分の値としては、 ∫0→π log(1+x)dxの値に何かその振動分が「重み」として乗っかかったような：

∫[0→π] log(1+x)dx * (∫ [mπ/n→ (m+1)π/n] |sin(nx)| dx) / (∫ [mπ/n→ (m+1)π/n] 1* dx) = (2/π) ∫[0→π] log(1+x)dx

になりそうな気がする？？

で、真面目な評価をするなら、∫ [mπ/n→ (m+1)π/n] log(1+x)| sin(nx) |dxが、実際 (2/π）∫ [mπ/n→ (m+1)π/n] log(1+x)dxからどれくらいずれるのかを評価すれば行けそうな気がする？もしくはlog(1+x)は単調増加だら、∫ [mπ/n→ (m+1)π/n] log(1+x)| sin(nx) |dxを下からと上からで抑えられそう

という訳です。

で、詳しくは http://denofhardworking.blog.fc2.com/blog-entry-579.html とか https://mmsankosho.com/hasamiuti-kubunkyuseki-sin-yama/ とかみてください。