お願いします！数学です！

質問

真夜中にどうもこんばんわ
毎日勉強頑張ってますが高一の私には少しキツイ問題がいくつかありまして…
考えていたらこんな時間になってしまいましたっ

ですので、回答解説お願いします…！

Oを原点とするxy平面の第1象限にOP1=1を満たす点P1(x1,y1)をとる。このとき線分OP1とx軸とのなす角をθ(0＜θ＜π/2)とする。点(0,x1)を中心とする半径x1の円と、線分OP1との交点をP2(x2,y2)(x2＞0)とする。
次に点(0,x2)を中心とする半径x2の円と、線分OP1との交点をP3(x3,y3)(x3＞0)とする。
以下同様にして、点Pn(xn,yn)(xn＞0)と定める。
(1)x2,xnをそれぞれθを用いて表せ。
(2)θ≠π/4のとき、lim[n→∞]Σ[k=1,n]xkを求めよ。
(3)(2)で得られた値をf(θ)とおくとき、lim[θ→π/4+0]f(θ)およびlim[θ→π/2-0]f(θ)を求め、f(θ)=1を満たすθが区間π/4＜θ＜π/2の中に少なくとも1つであることを示せ。

回答No.2

ferien

Oを原点とするxy平面の第1象限にOP1=1を満たす点P1(x1,y1)をとる。このとき線分OP1とx軸とのなす角をθ(0＜θ＜π/2)とする。点(0,x1)を中心とする半径x1の円と、線分OP1との交点をP2(x2,y2)(x2＞0)とする。
次に点(0,x2)を中心とする半径x2の円と、線分OP1との交点をP3(x3,y3)(x3＞0)とする。
＞以下同様にして、点Pn(xn,yn)(xn＞0)と定める。
図を描いて下さい。点(0,x1)を中心とする半径x1の円の中心をＯ1とする。

＞(1)x2,xnをそれぞれθを用いて表せ。
x1＝ＯＰ1cosθ＝cosθ　（OP1=1）
△Ｏ1ＯＰ2は、等辺ｘ1の二等辺三角形。底角＝π／２－θだから、
角ＯＯ1Ｐ2＝π－２×（π／２－θ）＝２θ
余弦定理より、
ＯＰ2^2＝ｘ1^2＋ｘ1^2－２×ｘ1×ｘ1cos（２θ）
　　　　＝２cos^2（θ）－２cos^2（θ）cos（２θ）
　　　　＝２cos^2（θ）（１－cos（２θ））
　　　　＝２cos^2（θ）・２sin^2（θ）
ＯＰ2＝２sin（θ）cos（θ）＝sin（２θ）だから、
ｘ2＝ＯＰ2cos（θ）＝sin（２θ）cos（θ）
ｘn＝sin^(n-1)（２θ）cos（θ）

＞(2)θ≠π/4のとき、lim[n→∞]Σ[k=1,n]xkを求めよ。
Σ[k=1,n]xk＝Σ[k=1,n]sin^(k-1)（２θ）cos（θ）
　　　　　　＝cos（θ）｛１－sin^n（２θ）｝／｛１－sin（２θ）｝
初項cos（θ），公比sin（２θ）の無限等比級数で、
0＜θ＜π/2，θ≠π/4より、０＜sin（２θ）＜１だから、
lim[n→∞]Σ[k=1,n]xk＝cos（θ）／｛１－sin（２θ）｝

＞(3)(2)で得られた値をf(θ)とおくとき、
lim[θ→π/4+0]f(θ)およびlim[θ→π/2-0]f(θ)を求め、f(θ)=1を満たすθが
＞区間π/4＜θ＜π/2の中に少なくとも1つであることを示せ。
f(θ)＝cos（θ）／｛１－sin（２θ）｝とｙ＝１の交点を調べる。
f'（θ）＝｛sin（θ）（sin（２θ）－１）＋cos（θ）cos（２θ）｝／｛１－sin（２θ）｝^2
π/4＜θ＜π/2で、分母＝｛１－sin（２θ）｝^2＞０
分子は、sin（θ）（sin（２θ）－１）＜０（sin（θ）＞０，sin（２θ）－１＜０）
cos（θ）cos（２θ）＜０（cos（θ）＞０，cos（２θ）＜０）より、分子＜０
よって、f'（θ）＜０だから、f(θ)は、π/4＜θ＜π/2で単調減少
区間の端で、lim[θ→π/4+0]f(θ)＝＋∞，lim[θ→π/2-0]f(θ)＝０
だから、f(θ)は、ｙ＝１と、少なくとも１点で交わる。
よって、f(θ)=1を満たすθが
区間π/4＜θ＜π/2の中に少なくとも1つである。

でどうでしょうか？

回答No.1

Tacosan

何をどう考えてどこで困っている?