こんな重積分初めてみた…

質問

Sn=∫(0→1)dx1∫(0→1)dx2・・・∫(0→1)(x1^2+x2^2+・・・+xn^2)dxn
を求めなさい。

って問題です。Sの後のn、及びxの後の1と2とnは下付きです。また、全て∫の上が1、下が0です。

こんな重積分初めてみました。
考え方を教えて下さい。
よろしくお願いします。
できれば答えも教えていただけると助かります。

回答No.2

YHU00444 · ベストアンサー

>で、答えなんですが、Sn=(1/3)nでいいですか？？
OK、その答えで合ってます。

>もしこれで合っているなら、すごい簡単すぎる気がするんですけど…。
確かに、その気持ちはよく理解できますし、だからこそ本当に正しいかどうかを計算によって示す必要があるわけです。
（計算のあらまし）
S_(n+1)について具体的に計算してやると
S_(n+1)=∫dx_(n+1)∫dx^n{x_(n+1)^2+x_n^2+……+x_1^2}
x_(n+1)で積分
=∫dx^n[x_(n+1)^3/3+(x_n^2+……+x_1^2)*x_(n+1)]:[0→1]
=∫dx^n{(1/3)+(x_n^2+……+x_1^2)}
=∫dx^n(1/3)+∫dx^n(x_n^2+……+x_1^2)
=1/3+S_n
一方 S_1=1/3 なので、S_n=n/3となる。//

この式の振るまいを敢えて言葉でつかもうとするならば、x_1からx_nまでの積分の分がx_(n+1)の積分でもそのまま残る一方でx_(n+1)^2の項の寄与分として1/3が加わっていくから、次元が増えるたびに1/3だけ値が増えるということにでもなるのでしょうが、こんなの、元の式をにらんでるだけでは簡単には出てきませんよね。（だから計算が大事）

お礼

なるほど・・・
本当に、n=1,2,3…で様子を見るという手段は、かなり予測に
役に立ちますね(^^;)
この方法、絶対に覚えておくようにします！！
このよう問題って、ある意味簡単に予測できる分、上式のような証明に
近い計算が重要になってくるんですね。。。

式を眺めるだけでなく、実際に手を動かして計算する重要性を
再度確認させられた気持ちです。

ありがとうございました！！

回答No.3

info22

Sn=∫(0→1)dx1∫(0→1)dx2・・・∫(0→1)dx(n-1)∫(0→1)(x1^2+x2^2+・・・+x(n-1)^2+ xn^2)dxn
=∫(0→1)dx1∫(0→1)dx2・・・∫(0→1)dx(n-1)(0→1){(x1^2+x2^2+・・・+x(n-1)^2)xn +(1/3)xn^3}
=∫(0→1)dx1∫(0→1)dx2・・・∫(0→1){(x1^2+x2^2+・・・+x(n-1)^2+(1/3)}dx(n-1)
=∫(0→1)dx1∫(0→1)dx2・・・(0→1){(x1^2+x2^2+・・・+(1/3)}x(n-1)+(1/3)x(n-1)^3]
=∫(0→1)dx1∫(0→1)dx2・・・∫(0→1){(x1^2+x2^2+・・・+x(n-2)^2+2(1/3)}dx(n-2)
・・・
=∫(0→1)dx1∫(0→1)dx2・・・∫(0→1){(x1^2+x2^2+・・・+x(n-3)^2)+3(1/3)}dx(n-3)
・・・
=∫(0→1)dx1∫(0→1)dx2∫(0→1){(x1^2+x2^2+x3^2)+(n-3)(1/3)}dx3
=∫(0→1)dx1∫(0→1)dx2 (0→1){(x1^2+x2^2)x3+(1/3)x3^3)}+(n-3)(1/3)]
=∫(0→1)dx1∫(0→1)dx2 {(x1^2+x2^2)+(1/3)+(n-3)(1/3)}
=∫(0→1)dx1∫(0→1) {(x1^2+x2^2)+(n-2)(1/3)}dx2
=∫(0→1)dx1(0→1) {x1^2x2+(1/3)x2^3 +(n-2)(1/3)x2}
=∫(0→1)dx1 {x1^2+(1/3)+(n-2)(1/3)}
=∫(0→1) {x1^2+(n-1)(1/3)}dx1
=(0→1) {(1/3)x1^3+(n-1)(1/3)x1}
=(1/3)+(n-1)/3
=n/3
というようにできます。

なお、xkで積分するときは
x1～x(k-1)や(n-k)/3は固定していますので定数として扱えます。

お礼

実際にそのまま解いていくという方法ですか(^^;)
式の中で、定数として扱えるものを見つけるって、本当に
重要ですよね。。。
タメになりました。
ありがとうございましたm(_ _)m

回答No.1

YHU00444

こういう時の常套手段は、n=1,2,3,…で様子を見てみる。
するとあることに気付くので、今度はそれをどうやって示すのかを考える。
そのやり方は数学的帰納法もあるだろうし、S_nについての漸化式で示す方法もあるだろうが、要は積分を一回実行するたびに積分の変数が1コ減ることさえ分かれば、あとは簡単に示せるはずです。

ヒント：∫[0→1]dx^n(1/3)=(1/3)∫[0→1]dx^n=1/3,∫dx^n(A+B)=∫dx^n A+∫dx^n B

補足

実際にやってみました。
n=1のとき1/3
n=2のとき2/3
n=3のとき3/3
n=4のとき4/3
となりました。
重積分の計算のやり方を間違えていなければこれで大丈夫だと思うんですが…。
ちょっと重積分数年やってなかったんで…。
あと、n=1,2,3,…で様子を見るというやり方も完璧忘れてました(^^;)
で、答えなんですが、Sn=(1/3)nでいいですか？？
もしこれで合っているなら、すごい簡単すぎる気がするんですけど…。