正規分布

質問

ある正規分布N(μ、σ)に従う母集団からnの標本、X1、X2、・・・・・・Xnを取り出すとき
Y=X1+2・X2+・・・・・・+n・Xn
はどのような分布で表されるかという問題なのですが解き方が分かりません。
どの用に結論づけ答えを出せばよいでしょうか？

回答No.2

noname#227064 · ベストアンサー

> それぞれが独立な場合のaX+bYの分布は理解しているつもりなのですがそれをどのようにこの問題に当てはめたらいいのでしょうか？

後は、次のようにn-1回適用すればいいだけです。
Y = (…(((X1 + 2X2) + 3X3) + 4X4) + …… + nXn)

X1 + 2X2　　　　 : N(μ + 2μ, σ^2 + 2^2σ^2)
(X1 + 2X2) + 3X3 : N(μ + 2μ + 3μ, σ^2 + 2^2σ^2 + 3^2σ^2)
…
最終的にどうなるか見えてきませんか？

補足

数列の和の公式を用いて結論付けたのですがよろしいでしょうか？

回答No.3

noname#227064

> 数列の和の公式を用いて結論付けたのですがよろしいでしょうか？

それでOKです。
Y=X1+2・X2+・・・・・・+n・Xn
は、平均が{n(n+1)/2}*μで分散が{n(n+1)(2n+1)/6}*σ^2の正規分布に従うことになります。

お礼

一連の説明ありがとう御座いました。
回答がない問題でもやもやしていたのですがすっきりしました。

回答No.1

noname#227064

確率変数XがN(μ1,σ1^2)にYがN(μ2,σ2^2)に独立に従う場合、aX+bYはN(aμ1+bμ2,(aσ1)^2+(bσ2)^2)に従います。
これを理解していないと、その問題を解くことはできません。

あと、N(μ、σ)ではなくN(μ、σ^2)と書くようにしましょう。

補足

それぞれが独立な場合のaX+bYの分布は理解しているつもりなのですがそれをどのようにこの問題に当てはめたらいいのでしょうか？