数学（数理統計学）の問題です。

質問

数学（数理統計学）の問題です。
実数値確率変数列X1,X2,X3,.....,Xn,...は独立で、平均θ分散1を持つとする。Xnのバー＝1/nΣ[i=1～n] {Xi}とおく。
(1)統計量(Xnのバー)^2がθ^2の不偏推定量かどうかを調べ、不偏でない場合にはθ^2の不偏推定量をひとつ構成せよ。
(2)確率変数Y,Zと任意のε>0,δ>0に対して、以下の不等式を示せ。P(|(YZ)>ε,|Y|≦δ)≦(δ^2/ε^2)*E[Z^2]
(3)任意のε>0に対して、lim(n～∞)P(|(Xnバー)^2-θ^2|>ε)=0が成り立つことを示せ。

回答No.2

noname#227064 · ベストアンサー

問題はあれど質問がないので何が知りたいのかわかりませんが、(2)の問題が面白かったので回答します。

まず、
> P(|(YZ)>ε,|Y|≦δ)≦(δ^2/ε^2)*E[Z^2]
は、
P(|YZ|>ε,|Y|≦δ)≦(δ^2/ε^2)*E[Z^2]
の間違いとして話を進めます。

P(|YZ|>ε,|Y|≦δ)
= P(|Y||Z|>ε,|Y||Z|≦δ|Z|)
= P(ε<|Y||Z|≦δ|Z|)
≦ P(ε≦δ|Z|)
= P(ε/δ≦|Z|)
= P(ε^2/δ^2≦|Z|^2)
= P(ε^2/δ^2≦Z^2)
≦ (δ^2/ε^2)*E[Z^2]

最後の不等式は、マルコフの不等式を用いた。

(3)は(Xnバー)^2-θ^2を因数分解して(2)を適用します。

お礼

ありがとうございます。誤字はその通りです。

回答No.3

noname#227064

訂正

> (3)は(Xnバー)^2-θ^2を因数分解して(2)を適用します。

直接は適用できませんでしたね。
うっかりしていました。

lim(n～∞)P(|(Xnバー)^2-θ^2|>ε)
= lim(n～∞){P(|(Xnバー)^2-θ^2|>ε,|Y|≦δ)+P(|(Xnバー)^2-θ^2|>ε,|Y|>δ)}

としていくのでしょうね。
Y,Zが何になるかはご自分で考えましょう。

お礼

詳しい回答ありがとうございます。マルコフの不等式についてきちんと勉強しなおします。
gotouikusaさんもありがとうございました。

回答No.1

gotouikusa

(2)については，すみませんが，不等式の左辺の意味が分かりません。
(3)は(2)を使うと思います。

お礼

ありがとうございます。誤字失礼しました。