微分の問題です。

質問

微分の問題です。

(1)y=arcsin(arccosx)

(2)y=a^log(cosx)
※ただしaは正の実数

よろしくお願いします。

回答No.4

muturajcp

(1)
y=arcsin(arccos(x))
cos(sin(y))=x
0≦arccos(x)=sin(y)≦1
cos(1)≦x≦1
-sin(sin(y))cos(y)y'=1
sin(sin(y))≠0,sin(y)≠0,x=cos(sin(y))≠cos(0)=1
cos(y)≠0,(sin(y))^2≠1,x=cos(sin(y))≠cos(1)
cos(1)<x<1
y'=-1/{sin(sin(y))cos(y)}
(sin(sin(y)))^2+x^2=(sin(sin(y)))^2+(cos(sin(y))^2=1
(sin(sin(y)))^2=1-x^2
(cos(y))^2+(arccos(x))^2=(cos(y))^2+(sin(y))^2=1
(cos(y))^2=1-(arccos(x))^2

y'=-1/[√{(1-x^2)(1-(arccos(x))^2)}]

(2)
y=a^{log(cos(x))}
cosx>0,-π/2<x<π/2
log(y)=(log(cos(x)))(log(a))
y'/y=(log(a))(1/cos(x))(-sin(x))

y'=-{log(a)}tan(x)a^{log(cos(x))}

回答No.3

info22_

(1)
arcsin,arccosの取りうるxの範囲を調べておくと
y=arcsin(arccos(x))
0≦arccos(x)≦π
-π/2≦y≦π/2,
0≦sin(y)=arccos(x)≦1
∴1≧x≧cos(1),0≦y≦π/2
以下この範囲で考える。

sin(y)=arccos(x)
cos(sin(y))=x…(A)
なので
sin(y)=zとおき(A)の両辺をxで微分すると
d(cos(z))/dz*(dz/dy)*(dy/dx)=1
-sin(z)*cos(y)*y'=1
y'=-1/{sin(z)cos(y)}
=-1/{sin(sin(y))cos(y)}
ここで
sin(y)=arccos(x)
sin(sin(y))=1-x^2
cos(y)=√{1-(arccos(x))^2}
∴y'=-1/[(1-x^2)√{1-(arccos(x))^2}]

(2)
y=a^{log(cos(x))}
対数の真数条件から　cos(x)≠1,cos(x)>0
この条件の範囲で考えると

y=e^{(log(a))log(cos(x))}
y'=y{(log(a))log(cos(x))}'
=y{(log(a))/cos(x)}{cos(x)}'
=-y(log(a))sin(x)/cos(x)
=-{log(a)}tan(x)a^{log(cos(x))}

回答No.2

Tacosan

(2) は y をもっと簡単な形にしてから微分すべきだと思う.

回答No.1

R_Earl

> y=arcsin(arccosx)

f(x) = arcsinx, g(x) = arccosxとおけば、
f(g(x)) = arcsin(arccosx)となります。
あとは合成関数の微分法を用いてください。

> y=a^log(cosx)

f(x) = a^x, g(x) = log(cosx)とおけば、
これもまたf(g(x)) = a^log(cosx)となります。
こちらも先ほどと同様に合成関数の微分法で何とかなります。

合成関数の導出過程でg'(x)を用いますが、
これを計算する時も合成関数の微分法を使います。