三角関数の微分

質問

f(x)=e^arccosxの関数のイメージがまったくわかりません。
y=cosxの逆関数は,y=arccosxで、x=cosyとなります。
そうすると、y=e^yとありえない関数になってしまう気がします。
どこがおかしいのでしょうか。
また、f(x)を微分するとどうなるのでしょうか。

回答No.1

info33 · ベストアンサー

y=e^(arccos(x)) (≧1)
ln(y)=arccos(x)
cos(ln(y))=x

つまり,

y=e^(arccos(x)) (≧1) は
y=cos(ln(x)) (x≧1) の逆関数
ということです。

y=f(x)=e^(arccos(x))(≧1)
ln(y)=arccos(x)
cos(ln(y))=x
-sin(ln(y))*(1/y)*y'=1
y'= -y/sin(ln(y)) = -{e^(arccos(x)}/sin(arccos(x))
y'=f'(x)= -{e^(arccos(x)}/√(1-x^2) ... (Ans.)

お礼

info33さま
有難うございます。
y'= -y/sin(ln(y)) = -{e^(arccos(x)}/sin(arccos(x))
まではわかりました。
最後の
y'=f'(x)= -{e^(arccos(x)}/√(1-x^2)
が理解できませんでした。

回答No.3

info33

No.1 です。
お礼コメントの質問の回答
> sin(arccos(x))=√(1-x^2)
がわからないのですね。

u=sin(arccos(x))=sin(v), v=arccos(x), (0≦v≦pi)とおけば
cos(v)=x (-1≦x≦1, 0≦v≦pi) なので
0≦sin(v)≦1,
sin(v)^2=1-cos(v)^2=1-x^2 ≧0,,
∴ u=sin(v)=√(1-x^2)
となります。

お礼

info33 さま
丁寧な説明有難うございます。
よくわかりました。

回答No.2

asuncion

そういうときにはWolframに出てきてもらいましょう。
e^arccosx
とか
(e^arccosx)'
とか入力すれば一発です。

参考URL：

http://ja.wolframalpha.com/

お礼

asuncionさま

使い方がよく分からないのですが、(e^arccosx)'を入力すると、英語版でintegral e^arccosx　になってしまいました。differential of e^arccosxにするとｘ^arccosxかと聞いてきます。なかなかたどりつけませんでした。
でも、情報提供有難うございます。