微分

質問

y=(sinx)^x　(0<x<3π/2)

回答では対数微分法を用いていますがあまり使いたくないので
解説お願いします。
以下自分の回答です。

y´={(sinx)^x}log(sinx)*cosx

合成関数として微分しています。

回答No.6

jamf0421 · ベストアンサー

No3です。

>lnはlogって意味ですか??
すでにNo.4さんがお答えの通りです。

合成関数に就きましてはy=f(z), z=g(x)のような高等学校でやる単純な合成関数の微分を考えて、質問者さんがおそらくは間違えたであろうところを指摘したつもりです。一応実際に計算して見ます。
y=f(g(x))...(1)
y=f(z)...(2)
z=g(x)=sinx...(3)ならば
y=z^x=z^arcsin(z)...(4)
dy/dx=(dy/dz)(dz/dx)
dy/dzを出すために(4)の両辺の対数をとる。（結局対数微分をやります。）
lny=arcsin(z)*lnz...(5)
(5)の両辺をzで微分
(1/y)dy/dz=(±1/√(1-z^2))*lnz+arcsin(z)(1/z)
dy/dz=y{±/√(1-(sinx)^2)*lnz+x/z}={(1/cosx)ln(sinx)+x/sinx}(sinx)^x...(6)
（ちょっと符合とか適当に処理してます。）
dz/dx=cosx...(7)
(7)と(6)より
dy/dx=(ln(sinx)+(xcosx)/sinx)(sinx)^x...(8)
となります。無理してこうやるよりはNo.5さんのやりかたの方がスマートですが...

お礼

結局対数微分するんですか…
無理やり合成関数として処理しようとすると
arcとか出てきちゃうようですし…

潔く普通に面倒くさがらずに最初から対数微分することにします。

arcとかlnとか使って丁寧に解説していただいたのにも関わらず
まだ高校生なのでよく理解できませんでした。

最後までお付き合いいただきありがとうございました。

回答No.9

alice_44

具体的な計算の細部より、まず、
計算の方針をつかむことが先決。

その意味で、関数の合成のしかたは、
y = u~v, u = sin x, v = x でも、
y = (sin w)~v, w = x, v = x でも、
他の何でもかまわないが、いづれにしろ、
x → 2個の中間変数 → y
と考えることを、強く勧める。

y を表す式に x が 2個現れている
⇒ 2変数関数へ、x を含む式を代入したもの
というのが、この計算の基本的な見通しだから。
あとは、2個の中間変数を 1個の 2次元ベクトル
と見ることができれば、偏微分を使った、先の公式が、
dy/dx = (dy/dt)(dt/dx) の高次元版に過ぎない
ことが見えてくる。

中間変数にカンヅメ式とビンヅメ式を混在させて、
x → (u,x) → y と考えることは、
十分に慣れたあとでは、すればよいが、
基本を習得しようという時点では、
全く勧められない。

回答No.8

info22_

#2です。

A#2の補足について
>すいません範囲は(0<x<π/2)でした。
そうでしょう。
関数が定義されていない範囲では導関数も存在しないですから。。。

>↓途中経過
>y=(sinx)^x
(0<x<π/2)では sin(x)>0
です。

>sinx=uとおいて
u>0です。

>y=u^x
>ここからdu/dxとdy/duを求めたつもりだったのですが
>y=u^xじゃ無理ですね。
別に無理ないですよ。
よく考えてやらないと、間違いを起こしやすいだけでしょう。
du/dx=cos(x),a^x=e^(xlog(a)),(a^x)'=(log(a))(a^x)
(z^a)'=(e^(alog(z)))'=(z^a)(a/z)なので

y'=dy/dx=(∂y/∂u)*(du/dx)+(∂y/∂x)
=y(x/u)cos(x)+(log(u))(u^x)
=(u^x)[x{cos(x)/sin(x)}+log(sin(x))]
={(sin(x))^x]{xcot(x)+log(sin(x))}

>あと
>y=e^{xlog(sin(x))}
>への変形がわかりません
公式 a^x=e^(xlog(a))(a>0)
位、覚えて置いて下さい。

公式は両辺の自然対数をとれば両辺とも同じ式
xlog(a)=xlog(a)
となってすぐ導出できる公式です。

お礼

丁寧な解説ありがとうございます。

＞公式 a^x=e^(xlog(a))(a>0)
これもいろんな局面で役に立ちそうな予感がしますね＾＾

あと、No2への補足のときに申し上げておくべきでしたが…（もうお気付きになっておられるかもしれませんが…）
一応正解はsin(x)^x ( log(sin(x)) + x cos(x)/sin(x) )です。

色々教えてくださりありがとうございました。

回答No.7

alice_44

潔く普通に面倒くさがらずに、合成関数の微分則を勉強しとくと、
後々役に立つのにな。数学科でもない理系者にとって、数学って
最終的に、一次方程式とベクトル解析だから。
対数微分で済ませられるのは、f(x) ^ g(x) の場合に限られるし。

お礼

＞潔く普通に面倒くさがらずに、合成関数の微分則を勉強しとくと、
後々役に立つのにな。

この言葉を聴いてもまだ
合成関数の微分則を勉強する道を断つことが
どうしてできましょうか??

No3（No6）さんが示してくれた方法を思う存分悩んで理解しました。
この方法だとarcを理解してなければならないようですが
理解しました!!
高校の教科書にはarcはなかったので使わないのかな??（めちゃくちゃ便利なのに…）

たった一問の問題だったのに学んだことが多くてとても充実しました。

心より感謝申し上げます。

回答No.5

alice_44

合成関数の微分でやるときには、
x→(u,v)→y の合成と考えて、
dy/dx = (∂y/∂u)(du/dx)+(∂y/∂v)(dv/dx)
です。ただし、
y = u~v, u = sin x, v = x。
実際に、計算してみてください。

上式の由来が調べたければ、
「勾配ベクトル」について検索のこと。

お礼

ご回答ありがとうございます。

勾配ベクトル調べてみましたが
明らかに今の知識じゃ理解不能でした…

回答No.4

post_iso

lnは自然対数の明記法です。

単にlogと書いた場合
(1)数学ではlog_eですが
(2)考古学などではlog_10

を表すことになります

お礼

＞(1)数学ではlog_eですが
　(2)考古学などではlog_10

ありがとうございます。
知りませんでした。
考古学でlogを使うってことは
古い数学って意味ですか??

あまりにも内容に沿っていないようでしたら無視してください。
（無知なんで）

回答No.3

jamf0421

もとの式で両辺の対数をとって
lny=ln{(sinx)^x}=xln(sinx)...(1)
両辺をxで微分して
(1/y)(dy/dx)=ln(sinx)+x(cosx/sinx)
従って
dy/dx=(sinx)^x{ln(sinx)+x(cosx/sinx)}
となります。

合成関数で考える場合、質問者さんの誤解があると思います。
y=f(z)=f(g(x))(ここでz=g(x)です。)
となっていれば
dy/dx=(df/dz)(dz/dx)
で微分の結果がでます。ここでたとえばy=ln(sinx)ならばy=lnzとz=sinxの合成と考えることができます。
y=(sinx)^xの場合はz=sinxとしたとします。質問者さんはこれとy=z^xとの合成関数としたのだと思います。しかしそれではy=f(z)がzだけの関数になっていません。y=f(z)にするにはx=arcsinzを使ってy=z^(arcsinz)とし、これとｚ=sinxの合成関数の微分となります。却って複雑になるだけではないでしょうか？

お礼

補足したっきりお礼を書くのを忘れていました。すいません。

＞却って複雑になるだけではないでしょうか？
最初はそんなことを知りもせずに質問して「なんか難しそうだなぁ～」なんて思いながら解説を読んでいましたが、今では達成感があります。
数学力が2段階ぐらい上がった気がします。（アバウトですいません）

ついさっきようやく
皆様が二種類の方法を一生懸命説明してくれてることに気付きました。

ありがとうございました。

補足

lnはlogって意味ですか??

回答No.2

info22_

>以下自分の回答（解答？）です。
>y´={(sinx)^x}log(sinx)*cosx
これは間違いです。
どのように出されたのか途中計算を補足にどうぞお書きください。
>y=(sinx)^x　(0<x<3π/2)
実数の範囲では「π<x<3π/2，x≠4」ではy<0になって定義できませんので
微分そのものが存在せず、微分可能なのは「0<x≦π」(x=πのときは左方微係数のみ存在）です。
範囲を(0<x<3π/2)で考えるということであれば虚数の範囲まで拡張して考えないといけませんが、いかがですか？

0<x<πの範囲なら　sin(x)>0なので
y´={(sinx)^x}*{xcot(x)+log(sin(x))}
となります。

やり方はsin(x)>0なので
y=e^{xlog(sin(x))}
y'=[e^{xlog(sin(x))}]{xlog(sin(x))}'
={(sin(x))^x}[x{log(sin(x))}'+log(sin(x))]
= ...

補足

すいません範囲は(0<x<π/2)でした。
↓途中経過
y=(sinx)^x

sinx=uとおいて
y=u^x
ここからdu/dxとdy/duを求めたつもりだったのですが
y=u^xじゃ無理ですね。

あと
y=e^{xlog(sin(x))}
への変形がわかりません

回答No.1

kabaokaba

＞y´={(sinx)^x}log(sinx)*cosx
間違えです．

>合成関数として微分しています。
何をどうやって合成関数とみなしてますか？

正しい導関数は
sin(x)^x ( log(sin(x)) + x cos(x)/sin(x) )

お礼

回答ありがとうございます

すいません範囲は(0<x<π/2)でした。
↓途中経過
y=(sinx)^x

sinx=uとおいて
y=u^x
ここからdu/dxとdy/duを求めたつもりだったのですが
y=u^xじゃ無理ですね。