逆関数(大学受験問題)

質問

次の問題について質問させてください。
分数関数f(x))=(ax+b)/(cx+d)の逆関数を求める問題です。
解答は
y=(ax+b)/(cx+d)をxについて解くと
x(cy－a)=－dy+b
すなわちx=(－dy+b)/ cy－a

とあるんですが、ここで質問です。
この場合cy－aで割っているので、cy－a≠0を示す必要があるのではないですか？
問題文には特に示されていないのですが・・・。

ただ自分で示そうと思っていろいろやってみたのですが、できませんでした…。

それともここでは示す必要はないのでしょうか？
どなたかご存知の方アドバイスをお願いできませんか。よろしくお願いいたします。

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

>逆関数を求める段階では、cx-a≠0とはいえないような気がします

いえるんですよ．

y=(ax+b)/(cx+d)は y=a/c は絶対にありえません．
少し式を変形します

y = ( (a/c) (cx+d) -ad/c +b ) / (cx+d)
= (a/c) + A/(cx+d)
A = -ad/c +b

と表せます．A/(cx+d)は
xが定義域中のどんな値をとっても0には
なりません
つまりy=a/cは起こりえないのです．

こんな計算をしなくても，
グラフを考えれば一目瞭然でしょう
分数関数の場合
漸近線には近づくだけで点を共有することは
ありません．

したがって，解答のように
やってしまってかまわないのですが
気になるのであれば，
問題がない旨を答案に書けばいいのです
むしろ，書いた方が
採点者に「わかって書いてるんだぞ」という
主張になります．

ちなみに本当にめんどくさいのは
「関数f(x)=(ax+b)/(cx+d)の逆関数を求めよ」
という問題です．「分数」の文字が消えただけですが
めんどくささ倍増です．とけますか？
同様の問題に
「方程式ax^2+bx+c=0の解を求めよ」
ってのがあります．

お礼

kabaokabaさま、ご回答ありがとうございます。
解読にかなり時間がかかってしまいました。
で、やっとわかりました。ｙ＝a/cは漸近線だったのですね。式変形のところもなにをどう変形してなんのために？と思ったのですが、ただ割っただけだったのですね。いやでも、y=a/cがすぐに漸近線だとどうしてわかったのでしょうか？私もまだまだ勉強がたりません。ありがとうございました。

回答No.2

YomTM

x=(－dy+b)/ cy－aという関数の形式から、yの定義域にa/cは含まれませんので、結果として問題はなさそうです。
　完璧な回答をめざそうとするのであれば、関数という切り口ではなく、代数学的に、cy－a＝0の場合とそうでない場合で場合分けをすればいいと思います、、、　と思いましたが、題意からcy-a＝0とは、なり得ないことが背理法により示せました。

　仮にcy－a＝0と仮定すると、cy=a
ここで、仮にc=0ならa=0で、f(x)≡b/dとなり、逆関数を求めるという題意に反する。
∴c≠0…(1)
よって、cy=a⇔y=a/c…(2)

　また、 x(cy－a)=－dy+b ⇔ dy=b
同様に、ここで、仮にd=0ならb=0で、f(x)≡a/c（xの定義域はx≠0)となり、逆関数を求めるという題意に反する。
∴d≠0…(3)
よって、dy=b⇔y=b/d…(4)

　(2)、(4)⇒a/c=b/d⇒ad=bc…(5)

　ところで、(1)、(3)より、
f(x)=(b/d){(adx+bd)/(bcx+bd)}（∵(3)）
　　=(b/d){(bcx+bd)/(bcx+bd)}（∵(5)）
　　=b/dで、
f(x)≡b/dとなり、逆関数を求めるという題意に反する。

　以上から、cy－a＝0の場合はあり得ない、
すなわち、c・f(x)-a=0となるxは存在しない。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（q.e.d）

　これなら、f(x)=a/cが値域にないことを直接証明した方が早い気がしてきましたが、このようなところでいかがでしょうか？

お礼

YomTMさま、早速ご回答いただきありがとうございました。
ですが、「　x=(－dy+b)/ cy－aという関数の形式から、yの定義域にa/cは含まれません」とのことですが、残念ながら、この意味がわかりません。No.1さんもそのようにおっしゃっていましたが、私の勉強不足でわかりません。この「関数の形式から」ということはどういう意味でしょうか？この関数の形式でもy=a/cの可能性はあると思うのですが・・・。申し訳ありませんが、より詳しく教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.1

springside

>>cy－a≠0を示す必要があるのではないですか？
示す必要はありません。

f(x)=(ax+b)/(cx+d)はx=-d/cにおいては定義されないのと同様に、f^(-1)(x)=(-dx+b)/(cx-a)はx=a/cにおいては定義されない、というだけのことです。

お礼

springsideさま、ご回答ありがとうございます。
ですが、「f(x)=(ax+b)/(cx+d)はx=-d/cにおいては定義されないのと同様に、f^(-1)(x)=(-dx+b)/(cx-a)はx=a/cにおいては定義されない、というだけのことです。」とのことですが、「f(x)=(ax+b)/(cx+d)はx=-d/cにおいては定義されない」はわかりますが、逆関数を求める段階では、cx-a≠0とはいえないような気がします。もともとf^(-1)(x)=(-dx+b)/(cx-a)とあれば、x=a/cにおいては定義されない、といえると思うのですが・・・。