数IIIの関数の問題です。

質問

a^2 + bc ≠ 0 の時、分数関数 f(x) = (ax + b)/(cx - a) の逆関数は、f(x) に等しいことを証明せよ。

という問題です。
解答よろしくお願いします。

回答No.3

noname#128765

まず、関数f(x)の逆関数f^(-1)(x)の存在性を考える。そのために
f(x)=a/c＋(a^2＋bc)/(cx-a)と展開し、x∈R\{a/c}において
f(x)の値域f(R)はf(R)={y|y∈R\{a/c}}より　f(x)の定義域もf(R)で　
fの逆写像
f^(-1) :　f(R)→f(R) が存在するためには　
f:f(R)→f(R)が全単射であることを示せばよい。
(単射性)
x1,x2∈f(R) としx1≠x2とする。
f(x1)-f(x2)=(ax1＋b)/(cx1-a)-{(ax2＋b)/(cx2-a)}
=(a^2＋bc)(x2-x1)/(cx1-a)(cx2-a)
ここで x1,x2∈f(R)より(cx1-a)(cx2-a)≠0
a^2＋bc≠0かつx2-x1≠0より(a^2＋bc)(x2-x1)≠0
であるからf(x1)-f(x2)≠0 すなわちf(x1)≠f(x2)
したがってfが単射であることは示せた
(全射)
yをy∈f(R)で任意にとってもy=f(x)となるx∈f(R)が存在することを示す。
y∈f(R)として　　　　x=(ay＋b)/(cy-a)　となるようにとれば
　　　　　　　　　　　y=(ax＋b)/(cx-a)=f(x)を満たす。
∀y∈f(R)において　　x=(ay＋b)/(cy-a)はx∈f(R)であることが明らか　
したがってfは全射

以上からfは全単射であり、f^(-1)(x)が存在することは分かった。
　うまく関数を合成してa^2＋bc≠0に注意し計算した結果　f(f(x))=x　よりf^(-1)をかけて
f(x)=f^(-1)(x)が成立する。

回答No.2

mmk2000

逆関数を求める方法→x=の式にすること。
まずは、xについて解いてください。
そのあと、xをf^-1(x)、f(x)をxに置き換えたら完成です。

回答No.1

pascal3

> 解答よろしくお願いします
と書いている時点でどうかと思うが

逆関数の求め方は？

それをまず自分で教科書をみて調べてください。
そうする前に答えを教えてしまうのは学習を妨害していることになりますから。