多変数関数の問題で・・・・・・

質問

f(x) = ax*x;＋bx ＋ cの時に(x*xはｘの二乗を表しています)
常にf(x) > 0が成り立つというときにはa ＞ 0かつ判別式D＝bx*x－４ac＜０としてときますよね？

これをf(x,y) ax*x＋bxy＋cy*y　（ｘ,ｙ）≠（０,０）において常にf(x,y)＞０を満たすというのはどのように導けばいいのでしょうか？
おそらくa＞０かつc＞０かつb*b－ac＜０という予測はつくのですがうまく証明ができません・・・・・。

またf(x,y) ax*x＋bxy＋cy*y　（ｘ,ｙ）≠（０,０）において常にf(x,y)＜０が成り立つための必要十分条件はなんでしょうか？

回答No.3

kumipapa · ベストアンサー

x ≠ 0)
f(x,y) = x^2 (a + b(y/x) + c(y/x)^2)
∴ f(x,y)＞0　⇔　c ＞ 0 かつ b^2 -4ac ＜ 0　　...　(1)
y ≠ 0)
f(x,y) = y^2 (a(x/y)^2 + b(x/y) + c)
∴ f(x,y)＞0　⇔ a ＞ 0 かつ b^2-4ac ＜ 0　　...　(2)

(1),(2)より　a ＞ 0 かつ c ＞ 0 かつ b^2-4ac ＜ 0
（b^2-4ac ＜ 0 だから本当は a ＞ 0 か c ＞ 0 の一方を言えば充分）

f(x,y) ＜ 0 のときも同様です。

お礼

お答いただいてありがとうございました。
それに途中の導き方までご丁寧にお答えいただき感謝です。

多変数関数の場合はｘの式、ｙの式それぞれ分けて考えていかなければならないのですね・・・・・・。

回答No.4

kumipapa

＞　多変数関数の場合はｘの式、ｙの式それぞれ分けて考えていかなければならないのですね・・・・・・。

考えなければならない、または、考える事ができる、かな？
ｘ、ｙがそれぞれ無関係に動く事ができるので、適当に片方を固定して、（それがどんな値に固定されようとも）もう一方が任意の実数で条件を満足するようにすれば良いという考え方ができる、ということだと思います。
ちなみに、ｘ≠０，ｙ≠０で場合するのが分かりにくければ、普通にｘについて平方完成してやると・・・

f(x,y) = ax^2 + bxy + cy^2 = a(x+(b/(2a))y)^2 + ((4ac-b^2)/(2a))y^2
ですよね。言うまでもないけど任意の実数x,yにおいて(x+(b/(2a))y)^2≧0, y^2≧0 ですから、任意の実数x,yで f(x,y)≧0 となるためには(a≠0として） a＞0 かつ (4ac-b^2)/(2a)≧0 が必要。
逆に、
a＞0 かつ b^2-4ac = 0 のとき、x=y で f(x,y) = 0 なので、(x,y)≠(0,0) でf(x,y)＞0 を満足しない。
a＞0 かつ b^2-4ac ＜ 0のとき、f(x,y) = 0 になるのは、x = y = 0 のときのみで、(x,y)≠(0,0) のとき f(x,y)＞0

故に、a＞0 かつ b^2-4ac＜0 が(x,y)≠(0,0)でf(x,y)＞0 に必要充分な条件になります。

と考えても良いと思います。これなら、x,yを別々に場合分けする必要がないですね。

回答No.2

masudaya

一般的な方法に2次形式に展開するという方法があります.
ax^2+2bxy+cy^2
はmatlab風に記述すると
(a,b;b,c)*(x;y)
となります.これがどんな(x;y)でも正になるには
行列(a,b;b,c)が正定である必要があります.
シルベスターの判定法によれば,a>0で行列の行列式
ac-b^2>0であれば正定だそうです.

回答No.1

take_5

2変数として解くなら。。。。

f(x,y) ＝a（x+by/2a）＾2＋（c-b＾2/4a）y＾2と変形すれば良い。

しかし、私なら、そんなことはしない。
y≠0よりx/y＝tと置けば、
＞常にf(x,y)＞０を満たすというのはどのように導けばいいのでしょうか？
＞常にf(x,y)＜０が成り立つための必要十分条件はなんでしょうか

のどちらも簡単に解決する。