逆関数の定積分について

質問

高校３年の男子です。いきなりですいませんが、

ｆ(x)=(x*√２)/√(1+x^2)　のとき、f(x)の逆関数の
区間[0,1]における定積分の値を求めよ。

という問題がわかりません。f(x)の逆関数を出すにしても
出せくてお手上げ状態です。そもそもこの問題は、f(x)の逆関数を
出さずに求めるものなのでしょうか。
すいませんが、ヒントだけでもいいので教えて頂けないでしょうか。

回答No.3

lick6 · ベストアンサー

ｆ(x)=(x*√２)/√(1+x^2)
y = f(x) の逆関数は
x = f^(-1)(y) で、表すグラフそのものは同じです
∫[0,1]{f^(-1)(y)}dy であったら置換積分で x = f^(-1)(y)
このとき y = (x*√２)/√(1+x^2) から dy,dx のを求めて、範囲をグラフから出してやればでるはずです。

お礼

なるほど！確かに逆関数を表すグラフは基本的に同じですね！
ありがとうごさいます。

回答No.2

larme001

まず、求めたい部分をf(x)のグラフを書いて図示してみましょう。

このときに、f(x)がはっきり分からなくても、f(x)'>0なので、{0,1}単調増加であることを使えば、詳しく書く必要は無い。
あとは、四角形の部分と、1-∫f(x)の部分を別々に計算すれば出せるとおもいます。

回答No.1

zk43

不定積分で原始関数を求めるのは面倒ですが、定積分なので、
1－∫(0,1)f(x)dxを計算すればよいのでは。
グラフを描いてみると、0≦x≦1、0≦y≦1の四角形で、グラフの
上側の面積を求めている。