Cの部分環R＝Z[√-5]について以下。。。

質問

Cの部分環R＝Z[√-5]について以下の問いに答えよ。

（i）　I＝｛2a + (1 + √-5)b∈R | a,b ∈Z ｝置くとき、I　は　R　のイデアル
　　　　であることを示せ。

（ii）　Rのイデアル等式　I^2　＝　（2）を示せ。

（iii）　Rの単元を全て求めよ。

（iv）　Rのイデアル（３）は素イデアルであるが、理由とともに答えよ。

（v）　環の同型 Z[x]/(x^2 + 5) ≅ R を示せ。

（vi）　R　を自然にZ加群と見なすとき、Rは自由Z加群であることを示せ。

という問題の解き方が分かりません。

回答よろしくお願いします。

回答No.4

misumiss

ANo.3 の補足に関して.
まだまだ不完全ですが, ANo.2 の補足と比較すると, だいぶ良くなってきました.
注意点を, ひとつ.
ANo.1 でかいたのは略解で, いろいろ省略していますが, あなたは完全な解答をかく必要があるのを, 忘れないでください.

＞(1) x, y ∈ Iに対して、
＞ ｘ＝２a＋(１＋√-５)b
＞ ｙ＝２c＋(１＋√-５)d
もう少し, 日本語を補う必要があります.
また, a, b, c, d に関して, きちんと説明が必要です.

＞ｘ＋ｙ＝２a＋(１＋√-５)b＋２c＋(１＋√-５)d
＞ 　　＝2(a＋c)＋(１＋√-５)(c＋ｄ)∈ I
2行目は,
= 2(a + c) + (1 + √-5)(b + d) ∈ I
です.
おそらく, これで減点されないと思いますが, いちおう, a + c と b + d が, どちらも整数であることをコメントしたほうが, より安全です.

＞(2) r ∈ R, x ∈ I に対して、
＞rｘ＝２(ra)＋(１＋√-５)(rb)∈ I となりました
＞
＞　　よって、IはRのイデアルである.
この部分は, 大きな勘違いをしています.
R = Z[√-5] = { a + b√-5 | a, b ∈ Z } ですから,
r ∈ R は, r = s + t√-5 (s, t ∈ Z), という形であって,
必ずしも, r ∈ Z とはなりません.

以上の点に注意して, 全体を修正すると, 以下のようになります.

(1) x, y ∈ I, ただし,
x = 2a + (1 + √-5)b, y = 2c + (1 + √-5)d, (a, b, c, d ∈ Z)
とする.
このとき,
x + y = 2(a + c) + (1 + √-5)(b + d)
であり, a + c, b + d ∈ Z
よって, x + y ∈ I

(2) r ∈ R, x ∈ I, ただし,
r = s + t√-5, x = 2a + (1 + √-5)b, (s, t, a, b ∈ Z)
とする.
このとき,
rx = 2(as - at - 3bt) + (1 + √-5)(bs + 2at + bt)
であり（途中の計算式を省略しているので, 御自分で補ってください）,
as - at - 3bt, bs + 2at + bt ∈ Z
よって, rx ∈ I

(1), (2) より, I は R のイデアルである//

以上で, 大体いいのですが, I が空集合でないことを, 最初にコメントしてください.
空集合は, イデアルとみなしませんので.

A, B がともに R のイデアルのとき,
'"A の元 と B の元 の積" の有限和'全体からなる集合は, R のイデアルになります（確認してください）.
このイデアルを AB とかき, イデアル A と イデアル B の積といいます.

(ii) も, それほどの難問ではないので, まずは御自分で, 挑戦なさってください.

あと, 回答者も間違いをやっているかもしれないので, 発見したら, 遠慮なく指摘してください.
数学において, 他人の間違いを発見するのは, 非常に大切なことです.

回答No.3

misumiss

ANo.2 の補足を読みましたが, イデアルの定義が理解できていません.
この問題では, R は乗法の単位元 1 を持つ可換環, I は R の空でない部分集合なので, 示すべきことは, 次の (1) と (2) です.
(1) x, y ∈ I ならば, x + y ∈ I
(2) r ∈ R, x ∈ I ならば, rx ∈ I
(1) は明らかに成り立ちますが, (2) に関しては, 少しだけ計算する必要があります.
再度, 挑戦してください.

(ii) に関してですが, A, B がともに R のイデアルのとき, A と B の積 AB の定義は, 知っていますか.
知っているなら, A = B = I と置くことにより, I^2 を, I^2 = AB と定義できます.
あと, ( 2 ) や, (iv) に出てくる ( 3 ) の定義は, ちゃんとわかっているのでしょうか.

とにかく, まずは, (i) の証明を, きちんと完成させてください.

補足

(i)挑戦してみました
(1) x, y ∈ Iに対して、
ｘ＝２a＋(１＋√-５)b
ｙ＝２c＋(１＋√-５)d

ｘ＋ｙ＝２a＋(１＋√-５)b＋２c＋(１＋√-５)d
　　　＝2(a＋c)＋(１＋√-５)(c＋ｄ)∈ I

(2) r ∈ R, x ∈ I に対して、
rｘ＝２(ra)＋(１＋√-５)(rb)∈ I となりました

　　よって、IはRのイデアルである.

(ii)　A, B がともに R のイデアルのとき, A と B の積 AB の定義は, 知っていません.

回答No.2

misumiss

イデアルの定義が理解できているなら, (i) は容易に証明できるはずです.
まず, (i) の証明を試みてください.
(ii) は, 少し難易度が上がります.
(i) が解決したら, (ii) をやってみましょう.

補足

（i）の証明をしてみました.
任意に、ｘｙ∈Iとすれば、
ｘ＝２a＋(１＋√-５)b
ｙ＝２c＋(１＋√-５)d

xy＝(２a＋(１＋√-５)b)(２c＋(１＋√-５)d)
　＝2(2ac＋2bd＋adー1)＋2(１＋√-５)(ad＋bd＋bc)∈I
　　　　　　　　　(2ac＋2bd＋adー1)、(ad＋bd＋bc)∈Z
よって、IはRのイデアルである.

（ii）は分かりません.
　　　I^2は((２a＋(１＋√-５)b)^2でしょうか？

回答No.1

misumiss

(i) イデアルの定義は, 知っていますか.
I が, イデアルの定義を満たすことを, 確認するだけです.
(ii) I^2 ⊂ ( 2 ) は, 明らかです.
逆の包含関係は, ( 2 ) の任意の元 2(a + b√-5) に関して（ただし, a, b ∈ Z）, a - b が偶数か奇数かによって, 場合分けする.
(iii) a + b√-5 が単元であるとき, a, b がどういう条件を満たすか考える.
(iv) -1 + √-5 と 1 + √-5 の積を考える.
(v) 写像 f: Z[x]/(x^2 + 5) → R を, f(ax + b) = b + a√-5 で定義する.
(vi) 明らか.

補足

イデアルの定義しか理解できていないので、
詳しい証明はどのように行うのでしょうか？