数学の問題を教えてください。

質問

数学の問題を教えてください。
次の曲線の曲率を求めよ。
双曲螺旋　C（t）＝（a/tcost，a/tsint）　（a＞0）

という問題です、どうかよろしくお願いいたします。

回答No.3

aquatarku5 · ベストアンサー

NO1回答の修正です。NO2のご指摘の通り、誤った回答でしたので、
全面修正させて頂きます。失礼致しました。

曲率半径ρ=(x'^2+y'^2)^(3/2)／|x'y”-x”y'|　の公式を用います。
※公式の導出は下記。

x,yをtで１回微分
x't+x=-asin(t)=x't+acos(t)/t
y't+y=acos(t)=y't+asin(t)/t
即ち
x't^2/a=-tsin(t)-cos(t)
y't^2/a=tcos(t)-sin(t)

上式をtでもう１回微分
（2tx'+x”t^2)/a=-tcos(t)
(2ty'+y”t^2)/a=-tsin(t)

これらより、
ρ={a^3(t^2+1)^(3/2)/t^6}／{a^2/t^2}
=a(ｔ^2+1)^(3/2)/ｔ^4
となります。

＜別解＞極座標形式での曲率半径ρ=(r^2+r'^2)^(3/2)／(r^2+2r'^2-rr")
の公式を利用、双曲螺旋の式ｒ=√(x^2+y^2)=a/tを代入しても求められます。

※(x,y)がパラメータtで表現される場合の、曲率の算定式の導出
弧長パラメータをｓ、単位接ベクトルをTとすると、
曲率=1/ρ=|dT/ds|=|T'・dt/ds|　…(1)
として表現される。

ds=√(dx^2+dy^2)なので、ds/dt=√(x'^2+y'^2)　…(2)

T=(dx/√(dx^2+dy^2), dy/√(dx^2+dy^2))
=(x'/√(x'^2+y'^2), y'/√(x'^2+y'^2))
なので、
T'のx座標={x”√(x'^2+y'^2)-x'(x'x”+y'y”)/√(x'^2+y'^2)}／(x'2+y'2)
=y'(x”y'-x'y”)／(x'^2+y'^2)^(3/2)
同様に、T'のy座標
=x'(y”x'-y'x”)／(x'^2+y'^2)^(3/2)
以上より、|T'|=(x'2+y'2)^(1/2)・|x”y'-x'y”|／(x'^2+y'^2)^(3/2)　…(3)

(1)(2)(3)から、
1/ρ=|x”y'-x'y”|／(x'^2+y'^2)^(3/2)

＜参考＞
http://en.wikipedia.org/wiki/Curvature

お礼

ありがとうございます、とても参考になりました

回答No.2

alice_44

＞ x = a cos(t)/t, y = a sin(t)/t としたとき、
＞ 曲率 = ベクトル(x",y")の大きさ となる。

ならない。そうなるのは、
曲線のパラメータが弧長パラメータである場合だけ。
ベクトル (x ',y ') の大きさが定数 1 ではないから、
この場合、t は弧長パラメータではない。

曲線上の位置ベクトルを P
任意のパラメータを t
弧長パラメータを s
単位接ベクトルを T
単位法ベクトルを N
曲率を k
　と書くと、

dP/ds = T
dT/ds = kN
　が成り立つから、
k = | d^2 P/ds^2 |
　ではある。これと勘違いしたものと思われる。

d^2 P/dt^2　については…

P' = dP/dt = (ds/dt) (dP/ds) = (s') T
P" = (d/dt){ (s') T }
　= (d/dt)(s') T + (s') (d/dt)T
　= (s") T + (s') { (ds/dt) (dT/ds) }
　= (s") T + (s')^2 kN
　より、
|P"| = √{ (s")^2 + (s')^4 k^2 }
　であって、これが k に等しいとは限らない。

(x ',y ') を求めた後、(x",y") を求めるのではなく、
T = (x ',y ') / |(x ',y ')| を経由して計算を進めるとよい。

お礼

ありがとうございます、とても参考になりました

回答No.1

aquatarku5

x=acos(t)/t, y=asin(t)/t としたとき、
曲率=ベクトル(x",y")の大きさ　となる。

xt=acos(t)、yt=asin(t)　より、
x't+x=-asin(t)、y't+y=acos(t)
x"t+2x'=-acos(t)、y"t+2y'=-asin(t)
これらから、
x"t^3=-at^2cos(t)-2t(-asin(t)-x)
　=-at^2cos(t)+2atsin(t)+2acos(t)
　=-a{(t^2-2)cos(t)-2tsin(t)}
y"t^3=-at^2sin(t)-2t(acos(t)-y)
　=-at^2sin(t)-2atcos(t)+2asin(t)
　=-a{(t^2-2)sin(t)+2tcos(t)}

したがって、
t^6/a^2・(x"^2+y"^2)
=(t^2-2)^2+(2t)^2=t^4+4

曲率=a・√(t^4+4)/|t^3|