極座標について質問です。

質問

直交座標での面積を求めたい場合、極座標に置き換えても同じ面積になるのでしょうか？また、置き換えた場合はxy平面内で、同じ概形として取り扱ってもよろしいのでしょうか？

ある問題で、
x=e^-tcost
y=e^-tsint（０≦ｔ≦π/2）
の時、x軸とｙ軸とこの曲線で囲まれる面積を求めよ。という問題で極座標に置き換えて、かつxy平面で同じ概形で考えていて、疑問に思い質問しました。

よろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>直交座標で考えていたグラフの概形は極座標に変えるとやはり概形は変化してしまうものなのでしょうか？

同じグラフ（曲線）なら、概形は座標系によって変わりません。もちろん表現式は座標系で異なります。

例
原点を中心とする半径４の円の式
直交座標：x^2+y^2=4^2
極座標：r=4(0≦θ＜2π)
と式の表現は異なりますがグラフの概形は同じです。

直交座標の直線：x=aを極座標で表すと
極座標の直線は r=a/cosθ（-π/2<θ<π/2)
これも式の表現は異なりますがグラフの概形は同じです。

回答No.1

Tacosan

「同じもの」の面積が座標系によって違ったらおかしいと思いませんか?

補足

ご回答ありがとうございます。

面積の方はよく理解できました。ただ表し方だけを変えただけなので面積は変化はしないですよね・・・それに気づくことが出来ました。ありがとうございます！

では,直交座標で考えていたグラフの概形は極座標に変えるとやはり概形は変化してしまうものなのでしょうか？

よろしくお願いします。