ベクトル解析学の問題でわからない所があります。

質問

曲線x(t)の曲率、レイ率に対して、あるλ>1に対して、-λ倍に相似拡大した曲線x-λ(t)=-λx(t)の曲率、レイ率を比べる時、次のうち正しいものを1つ選んでください。

という問題で、テキストの解答には「x-λ(t)の曲率は1/λ倍され、レイ率は-1/λ倍される。」、解説には空間を-λ倍に拡大すると、右手系の基底は左手系に変わる。と書かれていますが、なぜそのような答えになるのか計算過程がわかりません。また解説の意味もわかりません。途中計算を含めて詳しい解説を宜しくお願いします。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

「レイ率」ってもしかして捩率のこと？
「-λ倍に相似拡大」というのは座標系を
-λ　0　0
0　-λ　0
0　0　-λ
で変換するということ。これは第3成分の鏡像
1　0　0
0　1　0
0　0　-1
と第3成分の軸廻りの180度回転
-1　0　0
0　-1　0
0　 0　 1
との合成をスカラーλ倍したのと同じ。鏡像変換で右手系と左手系が入れ替わることは、鏡を見れば文字通り自明。
　この変換によって曲率と捩率がどう変わるかは、それぞれの定義に変換を施してみるだけ。それがどんな曲線かには依らないことが分かるでしょ。