高2数学 剰余の定理

質問

はじめまして。
少し前に剰余の定理を習って、復習をしていたのですが、
ひとつ、疑問点が生じましたので質問させていただきます。

二次以上の整式P(x)を、 x-2 で割ると 4 余り、
x+3 で割ると -11 余る。
P(x) を (x-2)(x+3) で割った時の余りを求める。

という問題ですが、
さすがに、
P(x)=(x-2)(x+3)Q(x)+ax+b
として計算していけば解くことはできますが、
参考書に以下のような記述がありました。

P(x)=(x-2)(x+3)Q(x)+a(x-2)+4
とおき、x=-3 を代入、-5a+4=-11 より a=3 だから余りは 3x-2

この解き方ですが、具体的に何をしているのでしょうか。
平凡な高校生にわかる次元での説明、よろしければお願いいたします。

回答No.4

koko_u_ · ベストアンサー

>何に、何を代入したら、どういった過程でa(x-2) + 4
式は 2個しか出てきてないのに。。。

「P(x) = (x-2)Q_0(x) + 4」に「Q_0(x) = (x+3)Q(x) + a」を代入。

# あぁ。オレって親切。

補足

ああ、展開すれば　a(x-2)+4　になりますね。
うっかりしてました。
ご親切にどうもありがとうございました。

回答No.3

koko_u_

>あまりが a(x-2) + 4　となることに納得がいきません。
え？ Q_0(x) に代入しただけだよ？

補足

何に、何を代入したら、どういった過程でa(x-2) + 4
になるのでしょうか。自分には全くわからないので、もう一度お願いいたします。

回答No.2

rabbit_cat

普通にやれば
P(x)=(x-2)(x+3)Q(x)+ax+b
と置いて、P(2)=4，P(-3)=-11 から、a,bを求めるわけです。

ですが、
P(2)=4 なんですから、
最初から P(2)=4 になるようにP(x)の形を
P(x)=(x-2)(x+3)Q(x)+a(x-2)+4
としておけば、実際に代入するのは P(-3)だけですみます。

お礼

なるほど、そういう考えからですね。
ですが、やはりあまりをa(x-2)+4　としてしまうと、
もとの式とは異なった答えになってしまう気がするのですが…
どうして、この式は始めの式と同じであるのでしょうか？

回答No.1

koko_u_

>具体的に何をしているのでしょうか。
P(x) を (x-2) で割ったあまりが 4 だから

P(x) = (x-2)Q_0(x) + 4

として、Q_0(x) を x+3 で割ってあまりを a とすれば

Q_0(x) = (x+3)Q(x) + a

最初の式に代入すると

P(x) = (x-2)(x+3)Q(x) + a(x-2) + 4

を端折って書いてあるだけ。

補足

迅速な解答、ありがとうございます。
Q_0(x) = (x+3)Q(x) + a
この式までは理解できたのですが、
あまりが a(x-2) + 4　となることに納得がいきません。
代入したらどうしてそのような数になるのでしょうか。
お時間ありましたら、今一度説明をお願いします。