数学

質問

(1)商と余りを求める

【1】
　　＿＿＿＿＿＿
X＋1）3X＾2＋6X＋8

【２】
　　＿＿＿＿＿＿
X-1）2X＾3-5X＾2＋4X＋3

*・゜゜・*:.。..。.:

(2)
P（X）=X＾3＋2＾2-3X＋7

を次の式で割ったときの余りを剰余の定理を用いて求める

【1】
X-３

【2】
X＋1

*・゜゜・*:.。..。.:

(3)因数分解せよ

【1】
X＾3 -2X＾2 -11X＋12

*・゜゜・*:.。..。.:

(4)
次の式が整式
P(X)=X＾3-６X＾2＋3X＋10

の因数かどうか調べよ

【1】X-1

【2】X-2

*・゜゜・*:.。..。.:

(5)方程式

X＾3-7X＾2＋17X-14=0
を解く

数学が 好き
又は得意だ
という方
上記の式を解いて下さりませんか？
（式と答え）

高校に入るための受験勉強なのですが、塾に行くお金も無いため 自己流に頑張ってます…。
でも どうしても 上記した問題が解けません…

どうかお願いします！！！

回答No.3

goldmine_1984

No.1で回答した者です。

No.2のyyssaaさんがご指摘してくださっている通り、
(1)[1]の計算ミスってました。。

商　：3x+3
余り：5

が正解ですね。
途中、1箇所だけ3を掛け忘れてました。。

混乱させてしまって、すみませんm(_ _)m

＞No.2 yyssaaさん
ご指摘ありがとうございましたm(_ _)m

回答No.2

yyssaa

#1さんの回答の図の(1)[1]は
商3x+3余り5 ではないでしょうか。

回答No.1

goldmine_1984

明日の仕事もあるのでちょっとだけで申し訳ないですが…

(1)の【1】【2】は図を参照してください。
筆算だったので、図にしました。

(2)
P（X）=X＾3＋2＾2-3X＋7

を次の式で割ったときの余りを剰余の定理を用いて求める

…P（X）=X＾3＋『2＾2』-3X＋7
『』の部分はタイプミスだろうってことで、2X^2として計算してます。
2X^2じゃなかった場合は、適宜元の式に合わせてください。

【1】X-1
P(X)をX-3で割ったときの商をQ(X)、余りをRとおくと
（なお、X-3はXについての1次式なので、Rは定数）

P(X)＝(X-3)・Q(X)＋R　と表せる
ここで、Xに3を代入すると

P(3)＝(3-3)・Q(3)＋R
3^3＋2・3^2－3・3＋7＝0＋R
9＋18－9＋7＝R
25＝R

よって、余りは25

【2】X＋1

(【1】と同様において…)

P(X)＝(X＋1)・Q(X)＋R　と表せる
ここで、Xに-1を代入すると

P(-1)＝(-1＋1)・Q(-1)＋R
(-1)^3＋2・(-1)^2－3・(-1)＋7＝R
(-1)＋2＋3＋7＝R
11＝R

よって、余りは11

(3)因数分解せよ

【1】X＾3 -2X＾2 -11X＋12

ポイントは因数は『割り切れる数』ってことです。
剰余の定理から『割り切れる』ということは、
すなわちXに代入した結果を計算すると0になるということです。
（XにAを代入した結果P(A)＝0となったら、P(X)は(X-A)を因数にもつということ。）

Step1.代入して0になるようなXの値を探す。
　　　(これはある程度力技ですｆ（＾＾；ｗ)
　　　この場合、Xに1を代入すると0になるので、因数のうちのひとつがX-1であることが分かる。

Step2.因数の一つが見つかったら、多項式の割り算を利用して、
　　　元の多項式を見つけた因数で割った商を求める。
　　　この場合、(X^3-2X^2-11X+12)÷(X-1)の結果は
　　　X^2-X-12となります。

Step3.求めた商をさらに因数分解する。
　　　この場合、X^2-X-12＝(X-4)(X+3)

Step4.最初に見つけた因数と合わせて、式にする。
　　　X＾3 -2X＾2 -11X＋12＝(X-1)(X-4)(X+3)

完成♪

(4)
次の式が整式P(X)=X＾3-６X＾2＋3X＋10の因数かどうか調べよ

【1】X-1

因数かどうかを調べるには、剰余の定理を利用して、
因数かどうかを調べたいもの(今回はX-1)が0になるときのXの値を整式に代入して、
0になれば因数。0にならなければ因数ではない。と判断できる。

今回はX=1を整式P(X)に代入して…
P(1)=1^3-6・1^2+3・1＋10
　　=3-6+3+10
　　=10
0ではないので、X-1は整式P(X)の因数ではない。

【2】X-2

【1】と同じようにP(X)にX=2を代入して…
P(2)=2^3-6・2^2+3・2+10
　　=8-24+6+10
　　=0
0なので、X-2は整式P(X)の因数である。

(5)方程式 X＾3-7X＾2＋17X-14=0 を解く

左辺を因数分解する要領で解けます。

おさらいも兼ねて…

Step1.代入して0になるようなXの値を探す。
　　　今回はX=2を代入すると0になるので、因数のうちのひとつがX-2であることが分かる。

Step2.因数の一つが見つかったら、多項式の割り算を利用して、
　　　元の多項式を見つけた因数で割った商を求める。
　　　今回、(X^3-7X^2+17X-14)÷(X-2)の結果は
　　　X^2-5X+7となります。

Step3.求めた商をさらに因数分解する。
　　　今回はキレイな形では因数分解できないのでそのまま。

Step4.最初に見つけた因数と合わせて、式にする。
　　　X^3-7X^2+17X-14＝(X-2)(X^2-5X+7)

こっからは今回の問題だからこそのStepです。
元の方程式に立ち返って、式変形していきます。

　X＾3-7X＾2＋17X-14=0
　(X-2)(X^2-5X+7)=0
　これを満たすのは
　X-2=0 または X^2-5X+7=0 のとき
　すなわち X=2 または X^2-5X+7=0 のとき

　X^2-5X+7=0は実数解をもたないので、
　解はX=2

※ X^2-5X+7=0 は高校受験の学習範囲では解なしとなるので、
　 この問題の場合は、X=2が解になるかと思います。