下記問題の回答をお願いします。

質問

平面上に2点、О、Pがあり、OP＝√6である。点Oを中心とする円Oと、
点Pを中心とする円Pが2点A、Bで交わっている。
円Oの半径は、√3－1、∠AOP＝45°である。

（1）円Pの半径を求めよ。（整数値）

（2）ABの長さ。四角形AOBPの面積を求めよ。

（3）cos∠APBを求めよ。

（4）二つの円が重なる部分の面積は、πを含む部分と含まない部分にわけると、
□×π－□。□にあてはまる数値を求めよ。

回答No.1

ferien

＞平面上に2点、О、Pがあり、OP＝√6である。点Oを中心とする円Oと、
＞点Pを中心とする円Pが2点A、Bで交わっている。
＞円Oの半径は、√3－1、∠AOP＝45°である。

＞(1）円Pの半径を求めよ。（整数値）
ＯＰ＝√６，ＯＡ＝√３－１，円Ｐの半径はＡＰ
△ＡＯＰで、余弦定理より、
ＡＰ^2＝ＯＡ^2＋ＯＰ^2－２×ＯＡ×ＯＰ×cos∠AOP
＝（√６）^2＋（√３－１）^2－２×√６×（√３－１）×cos45°
＝４より、ＡＰ＝２
よって、半径は２

＞（2）ABの長さ。四角形AOBPの面積を求めよ。
△ＡＯＢで、ＯＡ＝ＯＢ，∠ＡＯＢ＝９０°より直角二等辺三角形だから、
ＡＢ＝√２・ＯＡ＝√２×（√３－１）＝√６－√２
四角形ＡＯＢＰ＝２×△ＡＯＰ＝２×（１／２）×ＯＡ×ＯＰ×sin45°
＝（√３－１）×√６×（１／√２）
＝３－√３

＞（3）cos∠APBを求めよ。
△ＡＰＢで、余弦定理より、
cos∠APB＝（ＡＰ^2＋ＢＰ^2－ＡＢ^2）／２×ＡＰ×ＢＰ
＝｛２^2＋２^2－（√６－√２）^2」／２×２×２
＝｛８－（８－４√３）｝／８
＝√３／２

＞（4）二つの円が重なる部分の面積は、πを含む部分と含まない部分にわけると、
＞□×π－□。□にあてはまる数値を求めよ。
cos∠APB＝√３／２より、図から∠APBは鋭角だから、∠APB＝３０°
△ＡＯＢ＝（１／２）×（√３－１）^2＝２－√３
扇形ＡＯＢ＝（１／４）×（√３－１）^2×π＝｛１－（√３／２）｝π
重なる部分の右側＝扇形ＡＯＢ－△ＡＯＢ
＝｛１－（√３／２）｝π－（２－√３）
△ＡＰＢ＝四角形ＡＯＢＰ－△ＡＯＢ＝（３－√３）－（２－√３）＝１
扇形ＡＰＢ＝２^2×π×（３０／３６０）＝π／３
重なる部分の左側＝扇形ＡＰＢ－△ＡＰＢ
＝（π／３）－１
よって、
重なる部分の面積＝｛１－（√３／２）｝π－（２－√３）＋｛（π／３）－１｝
＝（１／６）（８－３√３）π－（３－√３）

でどうでしょうか？図を描いて計算を確認してみて下さい。

お礼

ありがとうございました。
とても分かりやすいです。