高２数学 円の方程式

質問

高２数学 円の方程式
誰かわかる方教えてください(^^;)

直線у＝ｍхが円(х-1)の二乗＋(х-1)の二乗＝1によって切り取られる弦の長さが√2であるときｍの値を求めよ。

という問題です。
よろしくお願いします…。(；´д⊂)

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。

#1さんと違った解法を。
「点と直線の距離」を使います。

切り取る線分の長さが√2であることと円の半径が 1であることとを合わせて考えると、
円の中心(1, 1)と直線：mx- y＝ 0との距離がピタゴラスの定理から決まります。
この関係式から mが求められます。

回答No.1

aquatarku5

円　(x-1)^2+(y-1)^2=1　ですね。

y=mxを代入し、xの降べきの順に整理
(x-1)^2+(mx-1)^2-1
=(m^2+1)x^2-2(m+1)x+1=0

これの2解をα,βとすると、

弦の長さ=√{(mβ-mα)^2+(β-α)^2}=√2より、
(m^2+1){(α+β)^2-4αβ}=2　　・・・(1)

一方、解と係数の関係より、
α+β=2(m+1)/(m^2+1)
αβ=1/(m^2+1)　　　　・・・(2)

(1)(2)からmの方程式を導き、これをとけば答えが求められます。