高校数学 図形と方程式の円と接線の問題

質問

数学の問題です。

円（Xの２乗＋Ｙの２乗＝２０）に接し、直線２ｘ＋Ｙ＝１０に垂直な直線の方程式を求めよ。

わからないので教えてください。
過程を教えていただきたいのです。

補足教科書の問題なのですが最終的な答えだけは載ってます、

Ｙ＝１／２ｘ＋５ 　Ｙ＝１／２ｘ－５

回答No.2

B-juggler · ベストアンサー

受験対策はされてありますので、ごくごく　亀さんな方法を。

与えられている直線、Ｙ＝－２Ｘ＋１０　（移行しただけです）に

垂直な直線　Ｙ＝ａＸ＋ｂ　を考えて見ます。

垂直な直線なのですから、「傾きの積」が　－１　になればいいことは分かられますか？

例）　Ｙ＝Ｘ　に垂直な直線は　Ｙ＝－Ｘ＋ａｎｙ　（ａｎｙはなんでもいいんです、実数なら）

　　グラフを書かれてみてください。

これによって、ａ＝１／２　はすぐ出ますね♪

あとは、円に接するのですから、共通な点を持つはず。

Ｘ＾２＋Ｙ＾２＝２０　に　Ｙ＝１／２　Ｘ　＋ｂ　を放り込んで、

これを整理して解けば、ＯＫです。

ここで注意は、Ｘは重解を持たないといけませんよ。２点で接すると、円を貫通してしまいますね。

この時間に計算は辛いので確認してみてください。

ｍ（＿　＿）ｍ

回答No.3

mister_moonlight

方法は、いくつか考えられる。
微分を使う手もあるが、それは考えないとして。
いずれにしても、2x+y＝10に垂直な直線は、y＝x/2＋a　で表される事に気がつかなければ話にならない。

(解法-1)
直線：y＝x/2＋a　‥‥(1)　と円：x＾2＋y＾2＝(√10)＾2　‥‥(2)　が接するから、yを消去したxの2次方程式が重解を持つ　→　判別式＝0

(解法-2)
直線：y＝x/2＋a　‥‥(1)　と円：x＾2＋y＾2＝(√10)＾2　‥‥(2)　が接するから、点と直線との距離の公式を使うと、円の中心である原点から直線(1)との距離が、円の半径の√10に等しい。

どちらにしても、a＝±5　になる。自分で計算して確認してみて。

回答No.1

spring135

こんな公式走っていますか。

x^2+y^2=r^2

上の点（p,q)における接線は

px+qy=r^2　　　　(1)

受験には必須のこうしきです。必ず使いこなしてください。
楕円や放物線、双曲線でも同様に成り立ちます。
詳しくは参考書を調べてください。

問題の場合、(1)は

px+qy=20　　　　　(2)

これが直線

2x+y=10 (3)

に直交するには傾きの積が-1です。

つまり

(-p/q)・（-2）=-1

これから

ｑ＝-2ｐ　　　　　　(4)

当然

p^2+q^2=20 (5)

(4),(5)より

p=2, q=-4

p=-2,q=4

これを(2)に代入すれば答えが得られます。