円の方程式です

質問

円の方程式です
「点（０，２）を中心とし、直線ｘ＋２ｙ－１＝０に接する円の方程式を求めよ。」
　すみません５５歳になってもう一度数学をと思い数１からここまで来ましたがこの問題で何週間も足踏みをしております。丁寧にご教授ください。

回答No.1

fukuda-h · ベストアンサー

中心(a,b)半径ｒの円の方程式は
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
(a,b)は問題にあるから半径rをもとめる。
ｒは点（０，２）と直線ｘ＋２ｙ－１＝０の距離だから
公式を使って｜4-1｜/√（1+4）＝3/√5
よって、x^2+(y-2)^2=9/5

お礼

回答ありがとうございました。
数IIの教科書を読み返してみると前の単元に点と直線の距離の公式が乗っておりました。
　堅くなっている頭でお恥ずかしい次第です。

回答No.2

banakona

＃１さんの別解。

点（０，２）と接点を結ぶ直線の方程式を求める。

直線ｘ＋２ｙ－１＝０の傾きは－１／２。よって求める直線の傾きは２。
点（０，２）を通るので、直線の方程式はｙ＝２ｘ＋２
これと　直線ｘ＋２ｙ－１＝０　を連立させて解くと、　ｘ＝－３／５、ｙ＝４／５
これが接点の座標。これと点（０，２）の距離を求めると　３／√５

これは＃１さんの半径に一致する。

お礼

早速のお答えありがとうございました。直線の傾きから交点が求められるなんて考えもしませんでした。頭が固くなっております。いやー数学は奥が深いと感心しました。