数学：円と接線

質問

円に接する直線の方程式を導く問題です（数２）

やり方は決まってるわけですが、論理的に理解できてませんｗわかる方教えてください！！
問題：点（3,1）を通り、円ｘの二乗+ｙの二乗＝2　に接する直線の方程式を求めよ。

接線をP(x1,y1)と置くと
x１の二乗＋y１の二乗=2　となりますが、この後、円の接線の方程式が、
x1x+y1y=2　とあらわせる理由が分かりません。

大体はわかるような気もするんですが、クラスの友達に「教えて～」って言われたときの自分は「そうなるんだい！」としかいえない気がします。
クラスでいい格好をするために（冗談です）誰か教えてください。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

> 接線をP(x1,y1)と置くと
「円周上の点をP(x1,y1)と置くと」
の間違い。

x^2+y^2=2…(A)

> x1x+y1y=2…(B)　とあらわせる理由が分かりません。
xとyの一次方程式は直線を表すことは分かりますね。
(B)はその意味で直線の方程式ですね。
直線の方程式(B)にP点の座標(x1,y1)を代入すると
x1^2+y1^2=2…(C)
となって(A)を満たしていることが分かりますね。
という事は直線(B)が円周上の点を通るという事です。
(B)が円の方程式(A)に接しているかは
ピタゴラス（３平方）の定理が成り立つことで分かります。
(B)上の任意点Q(x,y)、原点をOとすると
OP^2+PQ^2=OQ^2
2+(x-x1)^2+(y-y1)^2=x^2+y^2
この式は(A),(B),(C)の関係式を使えば成り立つことが分かりますね。
これはP点で直線(B)が円(A)に接していることを表しています。

回答No.1

noname#75273

いろいろ検索したら、出てきたので参考にしてみては。

図形と方程式の分野で証明するのであれば
http://onohiro.hp.infoseek.co.jp/amanojack2/a/kisokaku011.htm

ベクトルで証明するのであれば、
http://www.10days.org/diary/20040618.html

微分を使うと
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibun/sessen/henkan-tex.cgi?target=/math/category/bibun/sessen/en-no-sessen.html