極限

質問

{xlogx-(x-1)}/(x-1)logx
のｘが１にいくときの極限の求め方が分りません。ロピタルの定理かなとも思ったのですが片側極限ではありませんし、どなたか教えて下さい。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

#1です。補足します。
A#1でお示しした極限値はロピタルの定理を2回適用したときの分母の極限値です。分子の極限値は1ですので求める極限値は
1/2 になります。

計算プロセスは以下の通り。
求める式はx→1 のとき 0/0型でロピタルの定理が適用できます。
分子 {x*log(x)-(x-1)}の微分＝log(x)
分母{(x-1)log(x)} の微分＝log(x)+{(x-1)/x}
ロピタルの定理を一回適用後の関数＝log(x)/[log(x)+{(x-1)/x}]

この式はx→1 のとき 0/0型でロピタルの定理が適用できます。
分子 log(x)の微分＝1/x
分母[log(x)+{(x-1)/x}] の微分＝(2/x)-{(x-1)/x^2}
ロピタルの定理を適用後の関数＝(1/x)/[(2/x)-{(x-1)/x^2}]
＝1/[2-{(x-1)/x}]→1/2

回答No.1

info22

ロピタルの定理を２回使えば普通に極限値２が求められます。
ロピタルの定理を１回使うとまだ0/0型ですが2回適用すると0/0型でなくなります。