極限の問題です。

質問

lim_(x→∞）2^x/x^100

の極限値の求め方と答えがわかりません。

ロピタルの定理を使うそうなんですが・・・

よろしくお願いします(@_@)

回答No.1

Kurasaki · ベストアンサー

ロピタルの定理がなぜ成り立つのか？ということは置いておいて
ロピタルの定理は
「lim[x->a]f(x)/g(x)が不定形となるとき、lim[x->a]f'(x)/g'(x)が存在すれば、lim[x->a]f(x)/g(x)＝lim[x->a]f'(x)/g'(x)」
さらに
lim[x->a]f'(x)/g'(x)がまだ不定形であるとき
lim[x->a]f'(x)/g'(x)＝lim[x->a]f''(x)/g''(x)
が成り立ちます

要するに分母分子両方の微分をとり、極限をとってやればいいのです。
それでも不定形ならもう一度同じ操作を
それでもダメならもう一度

って感じです。

今回は

lim[x->∞]2^x/x^100
=lim[x->∞](ln2)2^x/(100x^99)
=lim[x->∞]{(ln2)^2}2^x/(100・99x^98)
=lim[x->∞]{(ln2)^3}2^x/(100・99・98x^97)
・
・
・
=lim[x->∞]{(ln2)^100}2^x/100!
=∞

となるようです。

質問者さんは大学生か高校生かわからないので一応言っておきますが
ln2はlog[e]2
のことです。[e]は底の部分です

お礼

大学生です。
高校で２Bまでしか数学をやってなかったので
大学入ってから訳が分からないという感じでしたので
教えてくださり本当にありがとうございました！

回答No.2

alice_44

ロピタル？止そうよ…

2^x = e^(x log 2)
= Σ[k=0→∞] (1/k!)(x log 2)^k　;指数関数のマクローリン展開
> Σ[k=0→101] (1/k!)(x log 2)^k　;各項正なので、打ち切ると小さくなる

これを x^100 で割って、x→∞ の極限をとれば、
与式→∞ だと解る。
要するに、指数関数の極限は、どんな多項式よりもずっと大きくなる。

お礼

ロピタルの定理を使ってという指示がでていたので、、、

他にもこのような解き方があるんですね！！
ありがとうございました！！