三角形と内接円・内心

質問

三角形ABCにおいて、AB=7、BC=3である。この三角形の内心をIとする。AIの延長と辺BCとの交点をDとし、BIの延長と辺ACとの交点をEとする。4点C,E,I,Dは同一円周上にある。
1）角BCAの大きさ及び、線分CAの長さを求めよ。
2）BDの長さ及び、BI*BEの値を求めよ。
3）三角形ABCの内接円の半径を求めよ。

以上が問題です。三辺や二辺+一角が与えられた内接円関連の問題は解いたことがあるのですが、条件が二辺ではどのようにしたらよろしいでしょうか？

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

どこまで自力で解けて、どこが解けなかったのでしょうか？
あるいはどれなら分かりそうで、どれが分からないのでしょうか？

> 三辺や二辺+一角が与えられた内接円関連の問題は解いたことがあるのですが、
> 条件が二辺ではどのようにしたらよろしいでしょうか？

1番が解ければ「三辺 + 一角が与えられた内接円問題」になりますよね。
だから(1)を何とか解けば良いんです。

> 1）角BCAの大きさ及び、線分CAの長さを求めよ。

[1]
三角形の3つの角に対して二等分線を引いた時、
その交点が内心となります。
なので線分ADは∠BACの二等分線ですし、
線分BEは∠CBAの二等分線です。

[2]
「4点C,E,I,Dは同一円周上にある」という条件から、
∠ECD + ∠EID = 180°
∠CEI + ∠CDI = 180°
となります。

[3]
[1][2]の条件から∠BCAが求められます。
∠BCAが分かれば余弦定理でCAの長さが分かります。

方針ですが、まず[1]より
∠BAC = 2x(つまり∠CAD = x, ∠DAB = x)とおき、
∠CBA = 2y(つまり∠CBE = y, ∠EBA = y)とおいて下さい。
そしてこのx, yを使って四角形CEIDの角度を表してみましょう。
四角形CEID内のの「向いあう2角」がx, yで表現できれば、
[2]の条件からx, yの関係式が得られます。
それを利用すると、△IABの内角の和を利用して∠AIBの角度が求められます。
∠AIBが分かればそれを元に∠BCAが求められます

> 2）BDの長さ及び、BI*BEの値を求めよ。

「角の二等分線と線分の比の公式」を利用すればBDは求められそうです。

BI*BEは四角形CEIDの各頂点が同一円周上にあることに注目して下さい。
そうすると、どうやって求めれば良いか見当がつきます
(なぜわざわざ「BI*BE」としているのかを考えるのも良いかもしれません。
この形、どこかで見たことありませんか？)。

> 3）三角形ABCの内接円の半径を求めよ。

内接円関係ではよくでる問題ですよね。
こちらは解説無しでも大丈夫でしょうか？

お礼

>1番が解ければ「三辺 + 一角が与えられた内接円問題」になりますよね。
>だから(1)を何とか解けば良いんです。
全くそのとおりでして、おかげさまで1)ができた後は
2）3）とスムースに進みました。

大変丁寧な回答をありがとうございました。