重心と内心についての証明問題

質問

問い：内心と外心が一致する三角形は正三角形であることを証明せよ。

この様な問題があり、自分で以下のような答えを出してみました。
しかし模範解答に示されているような簡潔なものではなく、自信もありません。
どなたか添削してください。お願いします。
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正三角形ABCに於いて
辺AB, BC, CAのそれぞれに対して垂直に交わる二等分線との交点をそれぞれ
D, E, Fとする。
即ちAD=DB=BE=EC=CF=FAである(イ)
この三本の垂直二等分線の交点をPとすると、この点は重心なので
OA=OB=OCとなる(ロ)
この時(イ)(ロ)から
△OACは二等辺三角形であるから∠OAF=∠OCF
また△OAC≡△OAB≡△OBCから
∠OAF=∠OCF=∠OAD=∠OBD=∠OBE=∠OCE
順ってOA, OB, OCは∠A, ∠B, ∠Cの二等分線であるから点Pは内心である
このことから外心と内心が一致する三角形は正三角形である[終わり]

回答No.1

boc4326 · ベストアンサー

この解答は逆「正三角形ならば重心と内心が一致」を証明している。
題意からすると「重心と内心が一致ならば正三角形」を証明すべき。

回答No.2

pascal3141

任意の三角形ＡＢＣで
（１）内心Ｉと各頂点Ａ，Ｂ、Ｃを結ぶ線はそれぞれの角の２等分線なので、∠ＩＡＢ＝∠ＩＡＣ、∠ＩＢＡ＝∠ＩＢＣ、∠ＩＣＡ＝∠ＩＣＢ
（２）この内心Ｉは、重心Ｇと一致するので、ＩＡ＝ＩＢ＝ＩＣ
より、△ＩＡＢ、△ＩＢＣ、△ＩＣＡは二等辺三角形。よって、
∠ＩＡＢ＝∠ＩＢＡ、∠ＩＡＣ＝∠ＩＣＡ、∠ＩＣＢ＝∠ＩＢＣ
（３）（１）（２）より、∠ＩＡＢ＝∠ＩＡＣ＝∠ＩＢＡ＝∠ＩＢＣ＝∠ＩＣＡ＝∠ＩＣＢよって、その１つの角は１８０°÷６＝３０°各頂点の角は３０°×２＝６０°　よって正三角形。
という流れで証明します。正三角形は最後にいうべきです。