奈良大学の数学の問題です。

質問

奈良大学の数学の問題です。

ｘの二次方程式ｘ＾2＋(a＋1)ｘ＋a＋1/4=0 (以後(1)とする)、ｘ＾2＋(a-1)x-a^2+b=0((2))がある。
(1)が実数解を持つ時、(2)も必ず実数解をもつようなbの値の範囲を求めよ。

解)
　(1)が解を持つようなaの範囲は(分かっているので略)a≦0または2≦a
　このaの範囲において(2)も必ず実数解をもつbの範囲を求める。

　(2)の判別式をＤとすると(2)が実数解をもつ時(略)b≦5/4(a-1/5)+1/5

ここからがいまいちピンときません。解答にはb=5/4(a-1/5)+1/5として、a≦0または2≦aの範囲でとる最小値はa=0のとき1/4だからb≦1/4とあります。
『b=5/4(a-1/5)+1/5のとき、a≦0または2≦aの範囲でとる最小値はa=0のとき1/4』はわかりますが、なぜここで『b=5/4(a-1/5)+1/5として』『だからb≦1/4』がわかりません。

a≦0または2≦a、b≦5/4(a-1/5)+1/5をab平面に図示して二つの領域が重なるときのbの範囲は…と考えていたのですが、この考え方は違うのでしょうか。教えてください。
(数学が苦手なので、一度答えてくださっても、また質問を返すかもしれません。すみません)

回答No.1

sono0315 · ベストアンサー

(2)の判別式から

5a^2-2a+1-4b≧0

5a^2-2a+1の部分が
5a^2-2a+1＝5(a-1/5)^2+4/5
のように平方完成できますよね

a=1/5のとき最小値4/5

しかし考えればよいのは、a≦0、2≦aの範囲では
最小値はa=0のとき1です

つまり5a^2-2a+1の最小値は1
5a^2-2a+1-4b≧0　
1-4b≧0となるためには

1/4≧b

お礼

ありがとうございました。先に答えてくださったのでこちらをベストアンサーといたします。

補足

すみません、やっぱり疑問が出てきたので質問します。
なぜ5a^2-2a+1の最小値を出す必要があるのでしょうか？

回答No.2

htms42

（１）の判別式から
　(ａ－１)^2≧１　　（３）
です。
（２）の判別式から
　（ａ－１)^2＋４ａ^2≧４ｂ　　（４）
です。
（３）を満たすａのすべてに対して（４）の成り立つｂの範囲を求めるのですから（４）の左辺の最小値が分かればいいです。
（３）よりａ≧２、ａ≦０ですから、ａ^2≧０　です。
　これより、（ａ－１)^2＋４ａ^2≧１　（等号はａ＝０のとき）　です。
　よって　１≧４ｂ　ｂ≦１／４です。

お礼

ありがとうございました。