マクスウェルの関係式の応用

質問

大学で理系のものです。
マクスウェルの関係式についての問題なのですが、ほとんど分からない状態です・・・。

問　マクスウェルの関係式を使って
(a) （∂S/∂V)tと(∂V/∂S)p
(b)　（∂p/∂S)vと(∂V/∂S)p
を熱容量、膨張率αと等温圧縮率Ktで表せ

という問題です。

（∂S/∂V)tは変換と連鎖式を使ってα/Ktになることは分かったのですが、他はどのように変数にSの入った式を変換していけばいいのかさっぱりで・・・。
すみませんがどなたかお助けください。
お願いします。

回答No.2

hitokotonusi

何を習っていているか分かりませんが、公式

(∂y/∂x)z = -(∂y/∂z)x/(∂x/∂z)y
(あるいは、別の形で (∂x/∂y)z(∂y/∂z)x(∂z/∂x)y=-1)

を使う。

または、u(s,t), v(s,t), s(x,y), t(x,y)としてヤコビアンの性質

∂(u,v)/∂(x,y) = [∂(u,v)/∂(s,t)] [∂(s,t)/∂(x,y)]

を使う。

途中でエントロピーが邪魔になったら再度マックスウェルの関係式を使う、など、とにかく変形していけばいいですね。

(∂S/∂V)t = (∂p/∂T)v = -(∂p/∂V)t/(∂T/∂V)p = [(1/V)(∂V/∂T)p]/[-(1/V)(∂V/∂p)t] = α/κt

あるいは、

(∂S/∂V)t = (∂p/∂t)v = ∂(p,V)/∂(T,V) = [∂(p,V)/∂(p,T)][∂(p,T)/∂(T,V)] = [(∂V/∂T)v][-(∂p/∂V)t]= [(1/V)(∂V/∂T)v]/[-(1/V)(∂V/∂p)t] = α/κt

それが課題の出題意図でしょうから、あとはご自身で工夫してください。

お礼

やっと解くことができました！
本当にありがとうございました！！

回答No.1

hitokotonusi

マックスウェルの関係式は二階微分は順番を変えても結果が同じであることを利用したものです。何の二階微分を考えるかは独立変数を見ればわかります。

わかったという（∂S/∂V)tを例にすれば、独立変数がVとt(温度)なので、
Vとtを独立変数とする熱力学関数、ヘルムホルツの自由エネルギーF(V,t)を考えます。

すると、

∂^2 F/∂V∂t = ∂^2 F/∂t∂V

また、

∂F/∂t = -S , ∂F/∂V = -p

なので、代入して

-(∂S/∂V)t = -(∂p/∂t)v

このようにして微分からエントロピーを消去し、あとは測定可能な物理量、熱容量、膨張率α、等温圧縮率Ktなどの定義と一致するように変形していけばいいです。

お礼

素早い返答ありがとうございます。
(a)のもうひとつの方なのですが、(∂V/∂S)p＝(∂T/∂P)sまでは変換できました。
そこからは連鎖式などを使うしかないのでしょうか。
度々すみません。