高１レベルです！教えてください＞＜

質問

学年末試験のテスト範囲で

a2+b2+c2-ab-bc-ca≧０を証明せよ

という問題があるのですが、どのように証明するのですか？

ちなみにaなどのとなりについてる２は二乗を表してます。
(Ａ二乗＋Ｂ二乗＋Ｃ二乗ーＡＢ－ＢＣ－ＣＡ≧０)
小さくするやり方がわからなかったのでこのようになりました。

多分因数分解からの証明だとは思うのですが、因数分解すら
出来ません＞＜
どなたか教えてください～

回答No.3

ma-cyan369 · ベストアンサー

この問題は、両辺を２倍します。

すると、２a^2＋２b^2＋２c^2－２ab－２bc－２ca
　　＝(a^2－２ab＋b^2)＋(b^2－２bc＋c^2)＋(c^2－２ca＋a^2)
　　＝(a－b)^2＋(b－c)^2＋(c－a)^2≧０と変形できますよね！
で、(a－b)^2≧０、(b－c)^2≧０、(c－a)^2≧０より、
　　２a^2＋２b^2＋２c^2－２ab－２bc－２ca≧０
よって、２(a^2＋b^2＋c^2－ab－bc－ca)≧０の両辺を２で割ると、
　　a^2＋b^2＋c^2－ab－bc－ca≧０が成り立ちます。

お礼

ありがとうございます！！

回答No.2

alice_44

ウマイやり方を探して手が止まるより、
コツコツ平方完成すればよいでしょう。

左辺 = (a - (b+c)/2)~2 - ((b+c)/2)~2 + (b~2 + c~2 - bc)
= (a - (b+c)/2)~2 + (3b~2 + 3c~2 - 6bc)/4
= (a - (b+c)/2)~2 + (3/4)(b - c)~2
≧0

お礼

ありがとうございます！！

回答No.1

gohtraw

与式の左辺は
(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2）/2
と変形でき、
a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
b^2-2bc+c^2=(b-c)^2
c^2-2ca+a^2=(c-a)^2
なので与式の左辺は
((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2
となります。二乗の和ですからゼロ以上ですね。

お礼

ありがとうございます！！