外接円の半径を求める

質問

三角形の三辺が判っているときに、外接円の半径は求められるでしょうか。
つまり、△ＡＢＣの各辺をａｂｃとするとき、その外接円の半径をａｂｃで表すことができるでしょうか。
外接円は１つだけきまるのだから、半径は求められそうに思うのですが、いくら考えてもわかりません。宜しくお願いします。

回答No.2

dollar · ベストアンサー

はい、求められます。
正弦定理と余弦定理を用います。高校範囲です。

正弦定理とは、外接円半径Rとすると、
R=a/2sin∠BAC (1)
ですね。
このsin∠BACをどうやって求めるか？
これは余弦定理を使います。
余弦定理
cos∠BAC=(b^2+c^2-a^2)/2bc (2)
このコサインの値さえ求まれば、サインの値は求まりますよね。
sin∠BAC^2+cos∠BAC^2=1 (3)
の関係がありますから。

よって、最終的には(1)(2)(3)式から、
R=a/2√1-((b^2+c^2-a^2)/2bc)^2
ですね。ああわかりにくい。もちろんa,b,cを入れ替えても同じ結果です。

回答No.5

thedepth547

No.3の方の

S=abc/(4R)

の公式とヘロンの公式

s=(a+b+c)/2
S=√s(s-a)(s-b)(s-c)

より半径を求められます。

回答No.4

tiad85xxx

余弦定理(a^2 = b^2 + c^2 － 2bc×cosA)で
cosAを求める

sin^2θ + cos^2θ＝１より
sinAを出す

正弦定理で
　　　a
　　――― ＝２Ｒ　（Ｒは外接円の半径）
　　 sinA

これでおそらく出せると思いますが・・・

回答No.3

deenist

高校の教員（数学）しています。

S=abc/(4R)

という式だったかなぁ。
以下の手順でも出せるはずです。

三辺の長さがわかる
　↓
余弦定理からcosA（cosBでもcosCでもよい。）を求める
　↓
sin^2 A + cos^2 A=1から、sin Aを求める
　↓
正弦定理から、外接円の半径を求める

で求まるはずですよ。

回答No.1

First_Noel

ａ，ｂ，ｃを使って，余弦定理より角度がひとつ分かる．
とりあえずａの対角Ａが分かったとする．
↓
ａとＡから，正弦定理を使って外接円の半径が求まる．