円に外接する円の半径

質問

半径４の円があり、その円に外接している半径ｒの円が１０個ある。互いに隣り合うこれらの半径ｒのどの２つの円も互いに外接している。
このときのｒの値を求めよ。

図を書いてＬ＝ｒθの公式や比例式を使うことを考えてたのですがまったくわかりません・・・１時間以上かけたんですがかえってわからないことのほうが増えてしまいました。
たとえば１つの半径ｒの円から半径４の円の中心を通る接線を引きます。半径ｒの円の中心をＡ、半径４の円の中心をＢ、接点をＣとおくと、ＡＢ＝ＢＣ＝４＋ｒですよね？ですけどＣは接点なので、∠ＡＣＢ＝９０°となりＡＢ≠ＢＣとなってしまいます・・・
いったいどうすればいいんでしょうか？

回答No.6

age_momo · ベストアンサー

半径4の円の中心をOとして外接している二つの円の中心をA,Bとすると
三角形OABは36°,72°,72°の二等辺三角形となる。
今、円A,Bの半径をrとおくと

OA=OB=4+r
AB=2r

正弦定理より

(4+r)/sin72°=2r/sin36°
(4+r)/2r=sin72°/sin36°=2sinsin36°cos36°/sin36°=2cos36°

余弦定理より

(2r)^2=2*(4+r)^2-2*(4+r)^2*cos36°
2r^2/(4+r)^2=1-cos36°

2式を使ってcos36°を消去するとrに関する3次式が得られるのでこれを解く。
なお、r=4も解として出てくるがこれは不適。4/√5になるかな。

回答No.5

kkkk2222

頂点が３６度、底辺が２ｒ、
他の２辺が４＋ｒの二等辺三角形のようです。
＜頂点に近い方が４です。＞

sin１８度の出し方はＴＥＸＴにも記載されていますが、
sin１８度＝sinＡとおき、
sin２Ａ＝sin３６度
cos３Ａ＝cos５４度
　　sin２Ａ＝cos３Ａ　　
sin２Ａは２倍角 、cos３Ａ　は３倍角を使用し、sinＡで割って、
式全体を、sinＡの式にすれば、
sinＡ＝sin１８度＝（－１＋√５）／４　となり、

（（－１＋√５）／４）＝（ｒ／（４＋ｒ））

最後の一次式が面倒そうです。

回答No.4

Mr_Holland

＃１さんの説明を式に当てはめると、
　　sin18°＝AC/AB＝r/(4+r)
となります。
　この式をｒについて解くと、
　　ｒ＝4・sin18°／(1-sin18°)
となります。
　さて、sin18°ですが、加法定理を習っていなければ、三角関数表などから、0.309017　などと求めて計算して下さい。
　もし、加法定理を習っていれば、加法定理から５倍角の公式を作るなどして、sin18°を求めてください。（この問題のキモはここか？）
　ちなみに、5倍角の公式は、
　　sin(5θ)＝16(sinθ)^5-20(sinθ)^3+5sinθ
です。ここで左辺を１として、０＜sinθ＜１となるようにsinθを求めれば、sin18°の値が得られます。（ちなみに、答えは (-1+√5)/4。）
　これを、先ほどのｒの式に入れて、分母を有理化すれば答えが得られます。

回答No.3

redowl

36°を頂点とする二等辺三角形を考える。
36°＝θ　と置いて
正弦定理　を使って解くだけ。

回答No.2

rui2007

ヒントだけ

外周の任意の1個の円の中心αとその円の隣のもう一つの円の中心β、
円の中心γ、二つの外周の円同士の接点をδとすると
∠αγβ＝360度÷10
また、直線γδは外周の２円のδを通る接線であるから
∠γδα＝∠γδβ＝90度

コレだけわかれば後は力作業で出来るかと

回答No.1

pocopeco

AB=BC とはならないですよ。
AB=4+r　は正しいです。BCは4+rではありません。
ACB=90　だから、AB^2=AC^2+BC^2
ACは、半径だから　 AC=ｒ

これだけじゃ、解けないようなので、
10個の円が外接してると考えると、角 ABC＝360/20＝18度

細かい計算してないんで、これで解けるかわからないんですが、
何かのヒントになるかもしれません。